アレフツーってありますか？

質問

数学では濃度を表すのに、アレフゼロやアレフワンといった言葉を用いられますが、
アレフツーというのもあるのでしょうか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

まず Z は最も濃度の小さな無限集合であり, その濃度が アレフ0 です. そして, その次に大きな濃度を アレフ1, さらにその次に大きな濃度を アレフ2, 以下同様にアレフ3, アレフ4, ... と定義します.
一方, R は Z より濃度が大きい無限集合で, その濃度は通常 アレフ または (ドイツ文字の) C で表します.
ここで, R の濃度には添字が書かれていないところがポイントで, 実は「アレフ と アレフ1 が等しいかどうか」はわかりません. 「等しい」というのが「連続体仮説」ですが, これは ZFC公理系のもとで決定不能である (つまり「ZFC + 連続体仮説」と「ZFC + 連続体仮説の否定」がどちらも無矛盾である) ことが知られています. つまり アレフ は アレフ1 かもしれないし アレフ2 かもしれないし, さらには「アレフ0 と アレフ の間には無限個の濃度が存在するかもしれない」のです. ということで, 「有理数と無理数だと1番目と2番目の無限濃度しか出てきませんが」といっているところの「2番目」が大きさの意味で言っているならこれは正しいとはいえません.
さて, 一般に濃度 c に対し 2^c は必ず c より大きくなります. つまり 2^R は R より必ず大きな濃度を持ちます. 2^R は「実数の部分集合の集合」や「実数上の関数の集合」と対等ですから, これらは「実数より大きな濃度を持つ集合」の例になります. そして R と 2^R の間の濃度を持つ集合が存在するかどうか (あるいはより一般に無限濃度 c と 2^c の間に濃度が存在するかどうか) が #2 でいわれる「一般連続体仮説」で, これも ZFC公理系のもとで決定不能です.
でもって, 実は「べき」で定義される ベート の系列もあります. これは
ベート0 = アレフ0,
ベート(i+1) = 2^ベートi
で定義され, 従って実数の濃度は自動的に ベート1 となります.

回答No.3

Tacosan

いや, 「アレフ」はアレフだから「アレフ2」でいいのでは＞#2.
「に」と読むか「ツー」と読むかは自由ということで.
「ベート2」なら簡単なんだけどねぇ.

お礼

有理数と無理数だと1番目と2番目の無限濃度しか出てきませんが、
三番目の無限濃度が出てくる、というのはどういう場合なのでしょうか？
出来れば例を教えて頂けないでしょうか？

それとこの感じでアレフ4、アレフ5、・・・というふうに定義出来るのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

あれ普通は、何て読むんでしたっけ？
「アレフ・ツー」じゃ、「ショコラ・ケーキ」みたいで、
何語だか判りませんが。

アレフ２の定義は、三番目の無限濃度
でよかったと思います。

それが連続体濃度の巾だ… というのは、
一般連続体仮説の一部です。

回答No.1

Tacosan

あります. 「(0 から数えるので) 3つ目に小さい濃度」ですね.
あるけど, どのへんなのかは (ZFC では) 証明できません.
アレフ1 を連続体濃度と仮定するとアレフ2 は「連続体上の関数の濃度」だったかな?