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ご教授ください。

追加で、もう一つ分からない問題が発生しました。是非、ご教授ください。 X、Yの結合確率密度関数が次式で与えられるとき、 pxy(x,y)= Ae^-(2x+y) (x>0,y>0) 0 (その他) 次の値を求めよ。 1)Aの値 2)P(X<2,Y<1) 3)P(X<2) 4)P(X+Y<2) 5)P(X<1|Y<2) 6)P(X<x) 7)pX|Y(x|y) です。  問題の意味すら理解できないです。助けて頂きたいです。

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  • muturajcp
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回答No.1

1) 1 =∫_{0~∞}∫_{0~∞}pxy(x,y)dxdy =A∫_{0~∞}∫_{0~∞}e^{-(2x+y)}dxdy =A∫_{0~∞}[e^{-2x-y}/(-2)]_{x=0~∞}dy =A∫_{0~∞}[e^{-y}/2]dy =A[-e^{-y}/2]_{0~∞} =A/2 ∴ A=2 2) P(X<2,Y<1)=∫_{0~1}∫_{0~2}pxy(x,y)dxdy =2∫_{0~1}∫_{0~2}e^{-(2x+y)}dxdy =2∫_{0~1}[e^{-2x-y}/(-2)]_{x=0~2}dy =2∫_{0~1}[e^{-y}/2-e^{-4-y}/2]dy =2[-e^{-y}/2+e^{-4-y}/2]_{0~1} =1-e^{-1}-e^{-4}+e^{-5} 3) P(X<2)=∫_{0~∞}∫_{0~2}pxy(x,y)dxdy =2∫_{0~∞}∫_{0~2}e^{-(2x+y)}dxdy =2∫_{0~∞}[e^{-2x-y}/(-2)]_{x=0~2}dy =2∫_{0~∞}[e^{-y}/2-e^{-4-y}/2]dy =2[-e^{-y}/2+e^{-4-y}/2]_{0~∞} =1-e^{-4} 4) P(X+Y<2)=∫_{0~2}∫_{0~2-y}pxy(x,y)dxdy =2∫_{0~2}∫_{0~2-y}e^{-(2x+y)}dxdy =2∫_{0~2}[e^{-2x-y}/(-2)]_{x=0~2-y}dy =2∫_{0~2}[e^{-y}/2-e^{-4+y}/2]dy =2[-e^{-y}/2-e^{-4+y}/2]_{0~2} =2[-e^{-2}+1/2+e^{-4}/2] =1-2e^{-2}+e^{-4} 5) P(X<1|Y<2) =P(X<1,Y<2)/P(Y<2) =∫_{0~2}∫_{0~1}pxy(x,y)dxdy/∫_{0~2}∫_{0~∞}pxy(x,y)dxdy =∫_{0~2}∫_{0~1}2e^{-(2x+y)}dxdy/∫_{0~2}∫_{0~∞}2e^{-(2x+y)}dxdy =∫_{0~2}[e^{-2x-y}/(-1)]_{x=0~1}dy/∫_{0~2}[e^{-2x-y}/(-1)]_{x=0~∞}dy =∫_{0~2}[e^{-y}-e^{-2-y}]dy/∫_{0~2}[e^{-y}]dy =[-e^{-y}+e^{-2-y}]_{0~2}/[-e^{-y}]_{0~2} =(1-2e^{-2}+e^{-4})/(1-e^{-2}) =1-e^{-2} 6) P(X<x)=∫_{0~∞}∫_{0~x}pxy(X,y)dXdy =2∫_{0~∞}∫_{0~x}e^{-(2X+y)}dXdy =2∫_{0~∞}[e^{-2X-y}/(-2)]_{X=0~x}dy =2∫_{0~∞}[e^{-y}/2-e^{-2x-y}/2]dy =2[-e^{-y}/2+e^{-2x-y}/2]_{0~∞} =1-e^{-2x} 7) pX|Y(x|y) =pxy(x,y)/∫_{0~∞}pxy(x,y)dx =2e^{-2x-y}/∫_{0~∞}2e^{-2x-y}dx =2e^{-2x-y}/[-e^{-2x-y}]_{0~∞} =2e^{-2x-y}/e^{-y} =2e^{-2x}

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