確率密度の最大値が変数の選択に依存？

質問

以下の問題がわかりません。
教えて下さい。宜しくお願い致します。

連続変数 x 上で定義された確率密度 Px(x)を考える。
x = g(y) により非線形変換を施すと密度は

Py(y) = Px(x)|dx/dy|
= Px(g(y))|g'(y)|

の変換を受ける。
これを微分して、yに関する密度を最大にする位置yとxに関する密度を最大にするxとが、ヤコビ因子の影響により一般には単純に

x = g(y)

という関係にないことを示せ。これは確率密度の最大値が、（通常の関数と異なり）変数の選択に依存することを示している。線形変換の場合には最大値の位置が変数自身と同じ変換を受けることを確かめよ。

※「確率密度の最大値が変数の選択に依存する」って辺りが謎です。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

書いてあることそのままなわけですが何がわかりませんか？
つまり書いてある文章の意味が分からないってことですかね。

例をあげると、0≦x≦1として、
Px(x) = 6x(1-x)
ていう確率分布を考えたとすると、
Px(x)は、x=1/2で最大値3/2をとります。
で、これを例えば、x = g(y) = y^2 ていう変数変換すると、yの確率密度関数は、
Py(y) = Px(x)*|g'(y)| = 12y^3(1-y^2)
になります。Py(y)は、y=√(3/5)で最大値をとります。

非常に単純に考えれば、もともと、x=g(y)なんだから、
Px(x)が最大値をとるx=1/2と、Py(y)が最大値をとるy=√(3/5)との間には、
1/2 = g(√(3/5))
ていう関係が成り立ってそうな気がするわけですが、実際にはそうなってないよ、ってことです。

お礼

大変わかりやすい回答をありがとうございます！
rabbit_catさんのおっしゃる通り、文章の意味がわからず困っていましたが、やっと意味がわかりました。ありがとうございます。