三角関数の導関数

質問

みなさんに質問です。
　（ｓｉｎ＾２Ｘ）’＝２ｓｉｎＸｃｏｓＸ
となると思うのですが答案のときにそれを２倍角の公式で
　２ｓｉｎＸｃｏｓＸ＝ｓｉｎ２Ｘ
と直す必要はあるのでしょうか。

先生から配布されたプリントと教科書で答えが違ったのでどちらにすべきか分からず投稿しました。回答お待ちしています。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

どちらが正しいかと言えば、
両方とも正しいです。数学的には。

どちらが正解かといえば、
それは担当の先生に聞くしかありません。
イロイロな先生が居ますからね。

計算上どちらが便利かといえば…
1階微分までで増減を考えるなら、
積に分解するのが基本なので
2(sin x)(cos x)、
2階以上微分するなら、
和に展開するのが有利なので
sin(2x) のほうが、
お作法にはかなっていると思います。
どっちでもいいことですけど。

回答No.3

Kules

単純に導関数を答えるだけの問題ならどちらでも構いませんが、
大体はその後さらにその式をいじったりするので(増減表を書く、とか)そういうことするのに適した形はなんだろなって考えておくことは大事だと思います。

回答No.2

proto

まぁ、イコールでつながっていると云うことは"同じもの"と云う事なんだから、2sin(x)cos(x)が正解ならば、当然sin(2x)でも正解だと思いますよ。
なんてたって二つは"同じもの"なんだから。どちらで答えるかは自由でしょう。
もう少し言えば、どちらも間違ってはいないから不正解にしようがない、というのが正確かも知れません。

ちなみにこのような解き方もあります。
　　(sin(x))^2 = (1-cos(2x))/2 = 1/2 -cos(2x)/2
　　((sin(x))^2)' = (1/2 -cos(2x)/2)' = sin(2x)
この場合、わざわざ展開せずにsin(2x)と答えるのが自然かな。

数学の問題の解き方・答え方は、こうでなければならないというものが一つだけ決まっているのではなく、いつでも多少の自由度があります。
今回の問題も、2sin(x)cos(x)と答えるのもsin(2x)と答えるのも回答者の自由という程度の違いです。
回答者自身、二つが等しいと分かっていれば問題ないでしょうし、そのことが採点者にも伝わるような書き方をすれば不正解にはなりようがないでしょう。

数学に大切なのは"自由な発想"、"こうでなければならない"という堅苦しく狭い考えは持たない方が良いでしょう。少なくとも若いうちには。

回答No.1

koko_u_u

>と直す必要はあるのでしょうか。
ない。

もちろん、二倍角の公式で変形できることはわかっている前提で。

お礼

みなさんありがとうございました。
おかげで納得できました！
どちらも分かっていることが大事なんですね。
一応間違いにされないように担当の先生にどっちにすべきか聞いておきます。。