50枚を1枚ずつ引いて100回、全部を選ぶ確率

質問

確率のことで質問です。

実際に知りたい確率は下の場合。

(1)50枚のカードがあり、これを毎回5枚ずつ引き、選びます。
(2)先ほど引いた5枚はまた元に戻し、シャッフルする。
(3)5枚選ぶ作業を計20回繰り返します。（全部で100枚）

この時、50枚のカードを全て選ぶ確率はどのように求めればいいかが
わかりません。

考えていったのですが、
そもそも50枚から1枚を選んで100回繰り返し、全部選ぶ確率の
求め方もわからなくなってきました。
50/50 × 49/50 × 48/50・・・× 1/50＝x
だとしたら50回で50枚全部選ぶ時の確率ですよね。

アドバイスをお願いします。

回答No.1

z1rcom · ベストアンサー

問題の意味が理解しづらいです...
あまり得意ではないですが、挑戦してみます。

50枚のカード
・５枚選ぶ
　↓
・戻す
（この「選んで戻す」を２０回）

選ぶカードは累計１００枚、この中に５０枚すべてが入っている確率ということでしょうか。

数を減らして簡単な計算で考えてみるとわかりやすいような気もします...
3枚（A,B,C）から「1枚選んで戻す」を3回繰り返したとき、3^3=27通りあります。
AAA,AAB,AAC,
ABA,ABB,ABC,
ACA,ACB,ACC,
BAA,BAB,BAC,
BBA,BBB,BBC,
BCA,BCB,BCC,
CAA,CAB,CAC,
CBA,CBB,CBC,
CCA,CCB,CCC,
このうちA,B,Cの組み合わせでできているのは6つで、確率は6/27=2/9です。
これは3/3 * 2/3 * 1/3と同じです。

では「1枚選んで戻す」を4回繰り返したとき、どうなるでしょうか。
AAAA,AAAB,AAAC,
AABA,AABB,AABC.....
となり、選び方は3^4=81通りです。
このうちA,B,Cすべてを含む組み合わせは、ABCA,ABCB,ABCCの並び方の数だけあるので、(4!/2!)*3 = 36個です。
よって確率は、36/81=4/9です。...さっきの２倍ですね。

5回繰り返したときは、
選び方：3^5=243、ABCを含む組み合わせ：150
確率：150/243=50/81
ABCを含む組み合わせは、ABCを含まない組み合わせから考えたほうが早いかもしれません。
すべてA,B,C→3通り
１つだけ違う→(5!/4!)*6=30通り(4つ違うも含めて)
２つ違う→(5!/3!2!)*6=60通り（３つ違うも含めて）
243-93=150個

50枚から「1枚を選んで戻す」を50回繰り返すと、
50/50 * 49/50 * 48/50 .....1/50
50枚から「1枚を選んで戻す」を100回繰り返すと、
選び方：50^100通り
そのうち50枚すべては含まないもの
すべて同じカード→100通り
1枚だけ違うカードがあり、99枚は同じカード→100C1*100*99=100*100*99=990000通り
2枚違うカード→100C2*100*99^2
3枚違うカード→100C3*100*99^3
↓（省略）
49枚違うカードがあり、51枚は同じカード→100C49*51C2*100P2*98^49
↓（つづく）

...これだと場合分けが不十分なような気もします..
参考にならないかもしれません。申し訳ないです。

お礼

基本的な考え方はそういうことだと思います。
ただこれを計算で示そうと思っても相当難しそうですね。
高校数学すらろくすっぽ出来てない私にとっては
つらいことになりました…。

ありがとうございました。

回答No.3

20080715

＞(1)50枚のカードがあり、これを毎回5枚ずつ引き、選びます。
＞(2)先ほど引いた5枚はまた元に戻し、シャッフルする。
＞(3)5枚選ぶ作業を計20回繰り返します。（全部で100枚）

＞この時、50枚のカードを全て選ぶ確率はどのように求めればいいかが
＞わかりません。

50枚のカードの中から同時に5枚を選び出し、選び出した5枚のカードを
すべて元に戻す。この操作を20回繰りかえす。
このとき、50枚のカードについて、どのカードも1回以上選び出されている
確率を求めるにはどうしたらいいか？ という質問ですね。

二項係数をC(a,b)と書くことにします。( C(a,b)=a!/(b!*(a-b)!) です。)
計算式と答えは、
(1/(C(50,5))^20)*Σ[k=0,45]C(50,k)*((-1)^k)*(C(50-k,5))^20
=(1/(2118760)^20)*1246292832045243805988424064166806254107
6396786117443911174640967681820962619595827466194429849318
64784910483037225630464000
=0.0003749598709342… (答)

求めたい確率の分母は、(C(50,5))^20 です。
この(C(50,5))^20通りのうち、特定のk枚(0≦k≦45)のカードが全く選び出されない
ようなものは、(C(50-k,5))^20 通りだけあります。(特定のk枚以外の(50-k)枚の
カードについては、選び出されても、選び出されなくてもどちらでもよい。)
よって、(C(50,5))^20通りのうち、どのカードも1回以上選び出されているような
ものは、包除原理より、Σ[k=0,45]C(50,k)*((-1)^k)*(C(50-k,5))^20 通り
あります。

一般に、
L 枚のカードの中から同時に M 枚を選び出し、選び出した M 枚のカードを
すべて元に戻すという操作を N 回繰り返すとき、どのカードも1回以上選び出されている
確率を P(L,M,N) とすると、
P(L,M,N)=(1/(C(L,M))^N)*Σ[k=0,L-M]C(L,k)*((-1)^k)*(C(L-k,M))^N です。

＞考えていったのですが、
＞そもそも50枚から1枚を選んで100回繰り返し、全部選ぶ確率の
＞求め方もわからなくなってきました。

P(50,1,100)を計算すればよいです。
P(50,1,100)=0.000166163…

お礼

申し訳ないです、回答の意味がほとんどわかりませんでした…。
数学の知識がないとてんで導き出せないのかな、と感じました。
解法を考えていただき、ありがとうございました。

回答No.2

kiwa67

回答は、まったく見当つきませんが......

１枚のあるカードに着目して、
このカードが選ばれない確率は、
　　45/50 の 10乗(10 回の選択で選ばれないほうのグループに
　　　　　　　　　入っているので)
です。

ヒントになれば（ヒントにもならないか）。

お礼

逆の考え方ですよね。
これは私も考え付きましたが、そこからの展開の仕方がわからず
質問させていただいた次第です。
ありがとうございました。