虚数を用いた指数関数で極限をとる。

質問

「Σ[k=0,n](e^(kπi/n) - e^(-kπi/n))/2i = a[n] と置くと
lim[n→∞]a[n]/n = 2/π になる」

これがどうしてかわかりません。どなたか説明よろしくお願いします

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

π=pで表します。
Σ[k=0,n]e^(kpi/n)=(1-e^(ip(n+1)/n))/(1-e^(ip/n))
Σ[k=0,n]e^(-kpi/n)=(1-e^(-ip(n+1)/n))/(1-e^(-ip/n))
e^(ip(n+1)/n=e^(ip(i+1/n))=e^(ip)e^(ip/n)=e^(ip/n)
because e^(ip)=1
∴an=((1+e^it)/(1-e^it)-(1+e^(-it))/(1-e^(-it)))/2i
here t=p/n
an=(1+e^it)/(1-e^it)/i=cos(t/2)/sin(t/2)
because e^1t=cost+isint
∴an/n=cos(p/2n)/(nsin(p/2n))
lim[n→∞]an/n=lim[n→∞]cos(p/2n)/(nsin(p/2n))
lim[n→∞]cos(p/2n)=1
lim[n→∞](nsin(p/2n))=lim[n→∞]n((p/2n)-(p/2n)^3/6....)
(by Taylor Expansion)
∴ lim[n→∞]an/n=1/(p/2)=2/p
QED

お礼

回答ありがとうございます。
鮮やかですね
>because e^(ip)=1
まずここに気がつきませんでした。自分のレベルの低さが身にしみます。
>lim[n→∞](nsin(p/2n))=lim[n→∞]n((p/2n)-(p/2n)^3/6....)
ここでテイラー展開ですか。自分には到底出ない発想です。

文系学生で数学を独学しているので、基礎ができていないことを痛感します。ご丁寧に証明を示していただいて本当に感謝です。

回答No.1

rnakamra

ヒントだけ。
(e^(kπi/n) - e^(-kπi/n))/2i=sin(kπ/n)
となります。これが判らないならまずは教科書を読むことをお勧めします。

ヒント2
この極限は区分求積の形になっています。

お礼

回答本当にありがとうございます。
>(e^(kπi/n) - e^(-kπi/n))/2i=sin(kπ/n)
オイラーの公式の応用ですね。

>この極限は区分求積の形になっています。
この疑問は区分求積について考えていた時に出てきたんで^^;