文字式の割り算

質問

質問です。よろしくお願いします。
f(k)=2k^3+9k^2+10k+3がf(-1)=0
となるから
f(k)はk+1割り切れる。

実際に計算してみたら割り切れたのですが、
なぜそうなるのかが全く理解できません。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

ｆ（ｋ）はｋの３次方程式ですので、次のように表されたとします。

　　ｆ（ｋ）＝２（ｋ－ａ）（ｋ－ｂ）（ｋ－ｃ）

　このとき、ｋ＝－１を代入してみますと、

　　ｆ（－１）＝２（－１－ａ）（－１－ｂ）（－１－ｃ）＝０
　∴（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）＝０

となりますので、この式が成り立つためには、（ａ＋１）、（ｂ＋１）、（ｃ＋１）　のいずれかの因数が　０　でなくてはなりません。
　つまり、次のようになります。

　　ａ＝－１　または　ｂ＝－１　または　ｃ＝－１

　ここで、仮に　ａ＝－１　だとしますと、ｆ（ｋ）は次のように表され、因数（ｋ＋１）を持つことになります。

　　ｆ（ｋ）＝２（ｋ＋１）（ｋ－ｂ）（ｋ－ｃ）

　同様に、ｂ＝－１、ｃ＝－１　の場合についても考えますと、同じようにｆ（ｋ）は　因数（ｋ＋１）　を持つことになります。

　以上のことから、ｆ（－１）＝０　のとき、　ｆ（ｋ）は因数に（ｋ＋１）を持つことが示されます。

　なお、以上の事柄は　＜因数定理＞　と呼ばれています。
　学校の授業でも学習していると思いますが、参考までに関連のサイトを貼っておきます。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm

お礼

詳しい解説と、関連サイトありがとう御座いました。
無事理解することが出来ました

回答No.3

funoe

f(k)は3次式だから１次式で割ったとき、商は2次式、あまりは定数。

f(k)=(k+1)（kの２次式）＋ａ

ここで、K=-1を代入すると、
左辺＝０　だし、
（k+1)（kの２次式）のところも０になる。
なので、ａ＝０　　ほら、割り切れた。

お礼

詳しい説明ありがとう御座いました

回答No.2

arrysthmia

(複素係数)多項式は、(複素係数の範囲で)
一次式の積に分解されます。
しかも、その分解は、(各一次因子の定数倍を除いて)
一通りに定まります。
これが「代数学の基本定理」(正確には、その系)。
多項式の因数分解の根拠です。

これにより、
f(k) は、k の一次式の積に分解されますが、
因子の中に k+1 の定数倍が含まれていなければ、
k = -1 を代入したときに、f(k) が 0 でない複素数
有限個の積で表され、0 になりません。

背理法により、f(-1) = 0 ならば
f(k) は k+1 で割りきれます。

お礼

詳しい説明ありがとう御座いました