割り算について

質問

例えば
2÷(1÷2)＝4
のような計算をする場合、通常は()内を先に計算しますが、
()内を計算せずに()を取り去ってしまって良いのでしょうか？

もし取り去ると
2÷(1÷2)＝2÷1×2＝4
だと思うのですが、÷を二回重ねると×になる…って、正しいのでしょうか？

計算上はこうしないと答えが一致しないので、こうなるのかなぁと思うのですが、÷が2回で何故×になるのか…
直感的にはわかるような気がするのですが、うまく論理的な説明ができません。

すごく初歩的な内容で恥ずかしいのですが、自分で考えていたらこんがらがってきたので、皆さんの知恵をお貸しください。

回答No.12

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

「初めに見た時に、この質問が奇妙に思えたのはなぜだろうか」と考えてみました。
そして、その理由は、「÷という記号は余り使わないから」ということで、自分では
納得出来ました。

さて、ご質問の件ですが、証明してみましょう。
a÷(b÷c)＝a÷(b/c)＝a×(c/b)＝(ac)/b・・・定義に基づく計算。
a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×(1/b)×c＝(ac)/b・・・posso様の発見した計算法。
確かに同じになりましたので、正しいと言えます。

＞直感的にはわかるような気がするのですが、うまく論理的な説明ができません。

例　a-(b-c) を 0+a-(0+b-c) と考えます。
「全ての文字の前に符号を付けたい」ので、a を 0+a としています。
ここで、0は加法における単位元です。
すると、「－（　　）は（　　）の中の符号を変える」というルールを適用して、
a-(b-c)＝0+a-(0+b-c)＝0+a-0-b+c＝a-b+c となります。

これと全く同様に、×と÷の場合も、乗法における単位元1を用いて、
「全ての文字の前に符号を付ける」とすると、
a÷(b÷c)＝1×a÷(1×b÷c)となります。すると、
「÷（　　）は（　　）の中の符号を変える」というルールを適用して、
＝1×a÷1÷b×c＝1×a×1×(1/b)×c＝(ac)/b
となることが示されます。
加法と減法について納得されるならば、全く同様に、
乗法と除法についても成り立つということです。

[補足]
０は足しても、引いても、結果に影響を与えません。同様に、
１は掛けても、割っても、結果に影響を与えません。

お礼

多くの方から回答を頂きまして、本当にどうもありがとうございました。
本来なら一人一人の方にお礼を申し上げるべきなのでしょうが、
今回はここでまとめて皆様へのお礼を述べさせて頂きます。

ポイントに関しては、皆さんの回答に優劣をつけるようで心苦しいのですが、
今回の私の疑問に関して特にわかりやすく丁寧に答えてくれていると感じた方を対象に選ばせて頂きました。

皆様のご意見、大変参考になりました。
重ねてお礼申し上げます。どうもありがとうございました。

回答No.11

debut

結果論的ですが・・
　1.6÷0.2 の計算は、割られる数と割る数をそれぞれ10倍
して　16÷2 として計算しても同じ商になりました。
Ａ÷(Ｂ÷Ｃ) も割られる数をＡ、割る数を(Ｂ÷Ｃ)とみれば
それぞれをＣ倍して
＝（Ａ×Ｃ)÷(Ｂ÷Ｃ×Ｃ)
でも同じ商になります。後半の ÷Ｃ×Ｃは１倍と同じなので
＝（Ａ×Ｃ)÷Ｂ
＝Ａ×Ｃ÷Ｂ
＝Ａ÷Ｂ×Ｃ
とできます。

回答No.10

chomei

ANo.1です。今、他の方の回答と質問者さんの質問を読み返してビックリ。
全く的外れな回答をしていましたね。大変失礼致しました。

回答No.9

key-boy

こんな風に考えました。
ａ÷（ｂ÷ｃ〕＝■
ａ＝■×（ｂ÷ｃ〕
ａ＝（■×ｂ）÷ｃ
■×ｂ＝ａ×ｃ
■＝ａ×ｃ÷ｂ
■＝ａ÷ｂ×ｃ
だめですか？

回答No.8

DONTARON

割り算の計算で考えにくい時は、分数や小数にすると考えやすいのではないかと思います。
　たとえば１÷２＝１/２です。
　つまり２÷(１÷２)＝２÷(１/２)＝２÷0.5＝４÷１＝４です。

回答No.7

Ishiwara

> ÷を二回重ねると×になる…って、正しいのでしょうか？
正しいです。

３÷（１÷５）
ここに３個のケーキがあります。１人が「５分の１個」ずつ食べると、何人で食べられるでしょう。１５人で食べられますよね。これは掛け算です。

回答No.6

First_Noel

余談ですが、割り算の演算子に「÷」記号を使っている国は、
日本やアメリカなどのごくごく少数の国に過ぎません。

他の大部分の国では、全て分数として扱います。

分母にある分数の分母は、結果的に全体の分子に移ります。
分子にある分数の分母は、結果的に全体の分母に移ります。
これがいわゆる、「逆数をかける」と言う作業に相当しますが、
「逆数をかける」ことが真意ではなく、分数の演算の約束に従えば、
結果的にそうなる、と言うことです。
「÷を２回重ねると×になる」と言う解釈も、結果的にそうなる、と言うことです。

割り算とは「分ける」と言う解釈は応用に過ぎず、
一般的には「『１単位』あたりを求める演算」です。

回答No.5

goodn1ght

割り算は、逆数を掛ける掛け算ですから、
÷を二回重ねるということは逆数の逆数（元の数字）を×ことになるので正しいです。
２÷（１÷２）＝２÷（１×１／２）＝２×１×２＝４

尚、引き算は、マイナスの数値を加算する足し算です。
５－３＝５＋（－３）＝２

回答No.4

shintaro-2

ａ÷（ｂ÷ｃ）で考えて見ましょう。
ｃの役目は、ａを割るｂの実質的効果を下げることになるので、
ｂをそのままにするのなら、ａ×ｃというのが筋です。

８÷（４÷２）で考えて見るとわかりやすいですね。

分数にしてみると
　　ａ
　　 --
　　 1
-----------
　　b
　　-
　　c
ですので、

ａ＊ｃ／ｂ　というのは容易に理解されるかと思います。

回答No.3

noname#43018

数学に通じているとはおこがましくて言えないのですが、少なくとも理科系の教育を受けてきました。
でも、割り算と割り算を重ねると掛け算になる、という言い方は聞きませんねぇ。

でも、2÷(1÷2) は 2÷(1/2) ですから、確かに、割り算と割り算を重ねると掛け算になりそうですね。割り算と割り算を重ねるという言い方は聞かなくても、分数で割るときは必ず逆数をかけることになっているのは算数からの約束になっていますから。

まあ、それはともかく、意味はこんな風に考えられるのではないでしょうか。2を1/2で割ると答えはいくつか、と言い換えてみました（言い換えたらだめですか？）。1を1/2で割ると2ですよね。だって、１を2つに割った一つ分の分量が1/2ですから。
1は1/2が2つ集まった物だ、と考えれば2は？ 1/2が2つ集まった物が、2つあるので、4です。

回答No.2

culverin

カッコ内の割り算を分数とみなせば一応説明できそうですが……。
1や2では混乱するのでa,b,cで。

a÷(b÷c)
=a÷(b/c)
=a×(c/b)
=a×((c/1)×(1/b))
=a×(c/1)×(1/b)
=a÷b×c

一応この形には持っていけましたが……。今ひとつうまく説明出来ない。