文字を含む増減表

質問

区間０≦x≦1において、関数f(x)=3x^3-k^2x+2の最小値を求めよ。ただしk>0とする。という問題で、おかしいことに、ｆ’(x)が０以下になってしまいました。
ｆ’(x)=9x^2-k^2=(3x+k)(3x-k)より、場合わけして、i）1≦ｋ/3　すなわち3≦ｋのとき、1とｋ/3の中点(3+k)/6におけるｆ’(x)の符号をしらべようと、計算したら、
((3+k)/2+k)×((3-k)/2)これはk=3のとき0になりますよね。
問題集には、区間外の1より大きいところは、増減表に記入してありません。
0から1までは,ｆ’(x)<0よりf(1)で最小値と判断してよいのでしょうか。
1とｋ/3の中点(3+k)/6における、ｆ’(x)は余分な計算なのかを教えてください。
お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 3≦ｋのとき、1とｋ/3の中点(3+k)/6におけるｆ’(x)の符号をしらべようと

なぜ？
0から1の範囲ではf’(x)<0なのだからf(1)で最小値と判断してよい。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

noname#227255

f'(x)=9x^2-k^2=9(x^2-k^2/9)=9(x+k/3)(x-k/3)

例えば、k=2とすると、区間0≦x＜2/3でf'(x)＜0、x=2/3でf'(x)=0、区間2/3＜x≦1でf'(x)＞0になります。（0以下ではありません。）
よって、f(x)はx=2/3で極小になり、f(2/3)が最小値です。
以上のことを一般的に表すと、0＜k/3＜1すなわち0＜k＜3のときは、f(k/3)が最小値です。

また、k/3≧1すなわちk≧3のときは、f(1)が最小値です。
k=3のときは、1とk/3が一致するので、f'(x)=0になります。（ここで極小）
k＞3のときは、1とk/3の中点に限らず、区間1＜x＜k/3のどこにおいても、f'(x)＜0になります。（x=k/3で極小）
区間0≦x≦1で、f'(x)＜0になりますので、区間1＜x＜k/3については、考える必要がありません。

お礼

具体例ありがとうございます。