電磁気学の問題中に出てくる積分についての質問です。

質問

今、電磁気の初歩の部分(静電気学)をやっているのですが、その途中で自分の力では解けない積分が出てきたので、わかる方ご教示願います。

(1)∫1/(z^2 + x^2)^{3/2} dx

(2)∫(z - Ru)/(R^2 + z^2 -2Rzu)^{3/2} du

です。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

最近は、積分はみんなコンピュータにやらせておしまいです。
(1) x=z*tan(u)と置換
http://www30.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB1%2F%28z%5E2+%2B+x%5E2%29%5E%283%2F2%29+dx

(2)これは、なかなか手でやろうという気がおきないですが
つまり、
∫1/(a-u)^(3/2) = 2/√(a-u)　（s=a-uと置換）
∫u/(a-u)^(3/2) = 2(u-2a)/√(a-u) （部分積分してから、s=a-uと置換）
の組み合わせということですかね。
http://www30.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%28z+-+R*u%29%2F%28R%5E2+%2B+z%5E2+-2R*z*u%29%5E%283%2F2%29+du

ちなみに、積分結果のところの右上にある、show stepsていうのを押せば、途中の計算も教えてくれます。

お礼

回答ありがとうございました。答だけでなく、途中計算もわかるのはうれしいですね。(1)は助かりました。

(2)に関しては、
z - Ru = {(R^2 + z^2 -2Rzu) + z^2 - R^2} / 2z
と変形すれば、もっと簡単に求められることがわかりました。Wolframのは、気が遠くなりますね…。

でも、こんな便利なサイトがあったのを知れたのは良かったです。今後も活用していこうかな、と思います。
ありがとうございました。