ホロノーム、非ホロノーム拘束系とは？

2009/05/31 22:31

このQ&Aのポイント

ホロノーム、非ホロノーム拘束系とは、ランダウリフシッツの力学の本で解説されている概念です。
ホロノーム拘束系とは、永遠に同じ軌道を回る運動を示し、非ホロノーム拘束系とは時間とともに軌道が変化する運動を示します。
非ホロノーム拘束系は、式で表されない運動を指し、分類法は物理学や工学などで重要な役割を果たします。

FUKUSHU
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物理学
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DR_WHO
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2009/06/01 00:32 回答No.1

こんばんは。ネットなどで検索されているならば、ある程度のことは分かっているものとして回答しておきます。「ホロノミック(Holonomic)」とは、純粋な「拘束条」件を持つ系に適応されます。具体的には、力学方程式としては、「座標（位置、角度）」、座標の「時間微分」としての「速度」、更に「速度」の「時間微分」としての「加速度」に依存することは分かると思います。もう少し具体的にしてしまえば、「ある一定の初期条件を与えた系」において、「ある物体の運動が一定の条件で成立する」ような場合を指します。つまり、慣性運動系によって成立するわけです。それに対して、「非ホロノミック(Non-holonomic)」とは、座標の時間微分としての「速度」が、なんらかの原因で変化する（1階の拘束条件を満たさない）。更に、速度の時間微分としての「加速度」が、なんらかの原因で変化する（2階の拘束条件を満たさない）場合に適応される系です。言い換えれば、初期条件として与えた「速度」が可積分ではない、つまり「初期速度」と「時間」から「位置」を推定できない事を、1階の「非ホロノミック」と定義します。更に「初期加速度」と「時間」から、「速度」が推定できない場合・・・更に、「速度」と「時間」から「座標」が推定できない事を、2階の「非ホロノミック」と定義されるのです。「平衡運動」といより、純粋な「慣性運動系」において、可積分の成り立つ系を「ホロノミック」と呼ぶ訳です。もう少し、付け加えておくと、「ホロノミック系」にあっては、初期条件さえ与えてしまえば、後の運動を定義できるような系を指します。例えば、「質点」にまで還元された、「太陽中心座標系」における「地球」の「公転運動」が挙げられます。ところが、「非ホロノミック系」では、例えば「目的」や「目標」などによって、「速度」を変化させたり、「加速度」を変化させるなどによって、運動を変化させるような場合に生じる系なのです。他の例で挙げておけば、「静止摩擦力」と「動摩擦力」の境界条件のように、「加速度」が変化する系もありますし、「動摩擦力」でも2体の相互変化によって、「加速度」が変化する系も存在します。このような場合、「境界条件」を「拘束条件」として付け加えて、可積分できる系であれば、1階の「非ホロノミック」として、ある一定時間後の「座標」の推測が可能になります。多分、彼の書いた論文全体をお読みになっていないと思いますが、参考URLに挙げられた論文の場合、「円運動」する系を参考に挙げたのだと思います。「ホロノミック系」の場合には、「ラグランジュの未定義変数法」によって、簡単に処理できることを示したかったのでしょう。「非ホロノミック系」の場合には、「エントロピー増大則（熱エネルギーの第２法則）」、「対称性の破れ」などによって生じる、各条件によって解くべき形が変ってきます。「分類法」としては、純粋に・・・「可積分できるのか？出来ないのか？」というそれだけの条件です。つまり、将来の位置（または速度）を推定できる場合には、「ホロノミック」となりますし、推定できない場合には「非ホロノミック」となるわけです。一番簡単な、参考例を参考URLに掲げます。非ホロノミック（目標や目的によって機械制御を柔軟にする）による、自由制御工学。