円周上の点をある正方形の周上に対応させたい

質問

いま、正方形とその内接円があります。内接円の円周上のある点をその正方形周上の点に対応させるもの（関数や変換行列など）を考えています。
よいアイデア、参考になる資料やヒント、アドバイスなどお力をいただきたいです。
詳細は添付画像を参照願います。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

実数を整数に変えるガウスの記号［ｘ］を使ってもよろしいのであれば、次のようにするのはいかがでしょうか。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gausssymbol.htm

　内接円の半径をａとして　点Ｐ1（a cosθ、a sinθ）と置いたときの、点Ｐ2（ｘ、ｙ）は次の通りです。

　ｘ＝sin{θ+[(θ+π/4)/(π/2)]π/2}/sinθ
　ｙ＝sin{θ+[(θ+π/4)/(π/2)]π/2}/cosθ

　これは、内接円の中心を点Ｏとしたとき、半直線ＯＰ1と正方形との交点を点Ｐ2に対応させます。

　これ以外にも、ガウスの記号を使えればいろいろと変換が考えられると思いますので、考えてみるのも面白いかもしれません。
　ちなみに、正方形は、ｎ→∞としたときの　x^n+y^y＝a^n　に対応するので媒介変数表示で変換が見つからないかと思いましたが、私の力量では無理でした。どなたか優秀な回答者が見つけてくれることを期待しています。

　あと、最大値関数や最小値関数も許容されるのであれば、変換の種類はかなり増えると思います。

お礼

どうもありがとうございます。簡潔な式に驚きです。なぜそうなるのかじっくり考えてみようと思います。プログラム関係の問題でしたので、最大値、最小値関数も使えます。そのあたりも考えてみようと思います。

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　ごめんなさい。点Ｐ２のｘ、ｙの式にａをかけることを忘れていました。
　次のように訂正させてください。

（正）
　ｘ＝a sin{θ+[(θ+π/4)/(π/2)]π/2}/sinθ
　ｙ＝a sin{θ+[(θ+π/4)/(π/2)]π/2}/cosθ

回答No.1

spring135

円の中心をとおり、水平にｘ軸、垂直にy軸を取り、x軸から計った角度をθとする。
円の半径をrとすると,円周上の点は(rcosθ,rsinθ)で表される。
正方形上の点は
-π/4≦θ≦π/4のとき(r,rtanθ)
π/4≦θ≦3π/4のとき(rcotθ,r)
3π/4≦θ≦5π/4のとき(-r,-rtanθ)
5π/4≦θ≦7π/4のとき(-rcotθ,-r)
細かいところでミスがあるかもしれません。

お礼

どうもありがとうございます。人間から見るととても分かりやすい式で助かります。