表が出やすいコインと、裏が出やすいコイン？

質問

数学の知識に乏しいですが、お時間がある方はぜひとも一緒に考えていただけませんか？

問：
表が出やすいコインＡと裏が出やすいコインＢがあります。
コインＡで表が出る確率は、９０％、
コインＢで裏が出る確率は、８０％、
今、どちらのコインかわからないコインＸを１０回投げたところ、
表が６回、裏が４回出た。

さて、このコインＸがコインＡである確率とコインＢである確率をそれぞれ求めたい。

・・・のですが、自分で調べた範囲では、正規分布を利用するとよさそうな気がします・・・しかし正規分布を読めば読むほどわからなくなってしまったので、どなたかご教授いただけると助かります。正規分布にこだわらずとも、もっと簡単に求められる方法があれば助かります。

以上、よろしくおねがいいたします。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

条件付確率で考えます。

コインがＡだったときに表が出る確率P[表|A]=0.9
コインがＢだったときに裏が出る確率P[裏|B]=0.8
コインＡ（あるいはＢ）を選ぶ確率P[A]=P[B]=0.5
ということから、そのコインがＡだったときに表6裏4になる確率を計算すると、それは二項確率になって
P[表6裏4|A]=C[10,6]*0.9^6*0.1^4=0.01116　（ここでC[10,6]は10個中2個選ぶ組み合わせの数＝210)
同様に、そのコインがＢだったときに表6裏4になる確率は
P[表6裏4|B]=C[10,6]*0.2^6*0.8^4=0.005505
両方の可能性を考慮した表6裏4が出る確率は
P[表6裏4]=P[表6裏4|A]P[A]+P[表6裏4|B]P[B]=0.008333
したがって、
表6裏4になった場合にそのコインがＡである確率は、
P[A|表6裏4]=P[表6裏4|A]P[A]/P[表6裏4]=0.6697
同様に、表6裏4になった場合にそのコインがＢである確率は
P[B|表6裏4]=P[表6裏4|B]P[B]/P[表6裏4]=0.3303
になります。これが、所望の確率です。

このようにしてP[表6裏4|A]からP[A|表6裏4]を算出する方法をベイズの定理といいます。

お礼

gef00675　様
回答ありがとうございます◎実際にExcelで計算してみたところ、それっぽい値を出すことができました。

私が考えていた中では、最も適切な計算方法だと思いました。
ありがとうございました！

回答No.2

arrysthmia

確率の値以前に、
そのことが何らかの意味で確率事象と捉えられるのか
どうかを、まず検討しましょう。

例えば、No.1 のようにベイジアンにしてしまう場合、
P[A] = P[B] = 0.5 と置くことに何の根拠があるのか。
その辺が、たぶん一番重要なことです。

あまり数学の問題でもないので、考え方は
人によって異なると思いますが、私の場合は…
『 P[表6裏4|A] > P[表6裏4|B] により、どうもＡっぽい気がする。
Ａである確率の値など、おそらく意味を成さない。』 …です。

類題：
帰宅したら、テーブルの上に、福引のアタリ券が置いてあった。
この福引が、Ａ商店街の福引である確率は、どれだけか？

お礼

arrysthmia　様
回答ありがとうございます◎もしかしたら質問をするカテゴリを間違えてしまったかもしれませんね。。。
確率に詳しい方と存じ上げますので、できれば純粋に確立を計算するような方法をご教授いただければよかったです。