カイ２乗分布？

質問

「コインを投げて表が出たら座標を＋１し、裏が出たら－１する」
という事象をn回繰り返した場合、最終的な座標は正規分布を示すため、
その最終的な座標の期待値からのズレを考えたい場合、
カイ２乗分布を用いることになると思います。

では、コインの表が出る確率が例えば2/3のように均等でない場合はどうなるのでしょうか？
最終的な座標はおそらく正規分布ではないと思うのですが、
この場合の期待値からのズレはどうなるのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.5

guuman

ｎ回ランダムウォークで座標が整数ｘである確率は
Σ［０≦ｍかつ０≦ｍ＋ｘかつ２・ｍ＋ｘ＝ｎ］・Ｃ（ｎ，ｍ）・ｐ＾（ｍ＋ｘ）・（１－ｐ）＾ｍ
の間違いでした
Ｃ（ｎ，ｍ）はいわゆるｎＣｍのことです

お礼

わざわざご訂正頂きありがとうございました。

回答No.4

shkwta

No.3の補足への回答です。

中心極限定理は、直感に反するので信じられないかもしれませんが、実際に位置が-30～+30になる確率をそれぞれ求めてグラフにしてみれば、釣鐘形になり、一目で納得できると思います。

30回の試行の場合、
位置が+12になる確率＝COMBIN(30,21)*((2/3)^21)*((1/3)^9)=0.146
位置が+8になる確率＝COMBIN(30,19)*((2/3)^19)*((1/3)^11)=0.139
となって、かなり近い値です（COMBINは「組み合わせ」）。試行回数を増すと、さらに左右対称に近づいていきます。

お礼

ありがとうございました。

つまり、2/3の場合は正確には正規分布ではないものの、
試行回数を増やすと中心極限定理によって正規分布に近づく、
ということでしょうか。

わざわざ計算までして頂いてしまいすみませんでした。

回答No.3

shkwta

2/3でも、正規分布ということでよろしいです。
それどころか、期待値と分散が有限値であれば、元がどんな分布でも、多数回の試行の和は近似的に正規分布になります。これを中心極限定理といいます。
（参考）
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/tyuusinkyokugennteiri.html

参考URL：

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/tyuusinkyokugennteiri.html

お礼

ご回答ありがとうございました。

2/3の場合、正規分布になりますか？
例えば30回コインを投げた場合、座標の期待値は10となると思うのですが、
実測値が12になる確率と8になる確率は一致しませんよね？
ということは、左右が非対称な分布になると思います。
このような分布は正規分布なのでしょうか？

回答No.2

guuman

文脈から分かると思いますが
下式はｘが整数のときの値であり
ｘが非整数の時には確率は０です

回答No.1

guuman

表が出る確率をpとすると
座標がxである確率は
Σ［０≦ｍ≦ｎ］・ｐ＾（ｍ＋ｘ）・（１－ｐ）＾ｍ
です
簡単な等比級数の和なので求めてください

お礼

ご回答ありがとうございました。