２枚のコインの片方が表の時、もう片方が裏になる確率は？

質問

ある有名な数学者(?)のクイズ本に、
「２枚のコインを投げて一方が表と判ったとき、もう一方が裏である確率は？」という問題が載っていました。
私は当然、答は１／２だと思ったら、なんと答は２／３だと言うのです！
どこかの「兄ちゃん寝る！」だか「姉ちゃん寝る？」だかでも話題になっているとか？？

どう思われますか？？？

回答No.20

noname#249240 · ベストアンサー

自分なりにまとめてみました。

「一方が表と判ったとき」の解釈仕方で、回答が違ってくると思います。

１．「１枚だけ見て表と判ったとき」の意味なら、２枚目が裏である確率は１枚目の表裏とは独立した事象なので、１/２。

２．「２枚のうちどちらか一方が表と判っているとき」の意味なら「条件付き確率」の問題となり、２/３。

もっと明快な「条件付き確率」の類似問題を他のホームページで見つけましたのでご覧ください。

http://www.qmss.jp/prob/formulae/11-conditional.htm

参考URL：

http://www.qmss.jp/prob/

お礼

ご回答をありがとうございます。

いよいよ総まとめといった感じですね！
答の　２／３　と　１／２　の違いについては、ご指摘のとおりでしょう。

また、色々と調べていただいたようで、参考のホームページは勉強になり、ありがとうございました。
そこにある「条件付きの確率」の問題ように、
「男の子がいる家庭で、２人の子供とも男の子である確率を求めなさい。」
というのであれば、私もすんなり　１／３　と答えたかもしれませんね！

だから、「２枚の１００円玉」の問題の場合も、
「投げられた２枚のコインを見ると、表のコインが見えた。このとき、裏のコインも見えている確率は？」
という表現にでもなっていれば、いっくらイタン児の私でも、２／３　と答えたでしょう！？？？

お陰さまで、すっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.19

asdf24

1.表表
2.表裏
3.裏表
4.裏裏
要するに、これの３つ目を「一方が表と判ったとき」に含むかどうかですね。
両方確認した場合、3は「一方が表」と言えるので含みます。
２枚のうちどちらか片方だけ確認した場合
1.表？
2.表？
3.裏？
4.裏？
この場合3は「一方が表」とは言わないので含みません
No.10、No.13、No.15のお礼で書かれている例はこのパターンなので１／２です

で、問題は
>・・・次に、ボクは２枚の１００円玉を投げて、落ちてきた１００円玉を手で隠した。
>教えてあげられる情報は、一方が表であることだけだ。

この文章から「ボク」が「両方確認した」か「片方だけ確認した」かを読み取るわけですが
私は「両方確認した」だと思いましたが、はっきり言ってどっちもありだと思います。
国語カテゴリーで聞いてみると適切な回答がもらえるかもしれません……と逃げてみる(汗

あとNo.18のお礼で書かれている

>つまり、２つのコインをＡ，Ｂとおくと、
>（開いた手，もう一方の手）＝（Ａ，Ｂ）＝（表，表）
>という場合と、
>（開いた手,もう一方の手）＝（Ｂ，Ａ）＝（表，表）
>という場合とでは、事象として違うと思うのですが・・・

というのは、確かに事象として違いますが(表,裏),(裏,表),(裏,裏)にも同じことが当てはまるので
２／３が４／６になるだけで確率は変わりません。

補足

各「回答」や「お礼」をよく読んでご回答をいただき、ありがとうございました。
いよいよ事態がはっきりしてきた感じがします。助かりました。

「両方を確認した」か「片方だけを確認した」かによって、確率の値が違ってくる。
という訳ですよね！
そして、それは問題（の内容）によってどちらになるかが違ってくる。
ということですよね！

また、元々の質問の
「・・・教えてあげられる情報は、一方が表であることだけだ。・・・」
という場合は、「両方を確認した」というふうに解釈するのが「正統」だ、
ということも分かってきました！！　ルターも正統派に改宗しちゃったかなぁ～

ただ、
「元々の質問の文章でも、「片方だけ確認した」と解釈できなくもない。」
とのことで、少しは安心しました。
（そうなんですよ！　「・・・落ちてきた１００円玉を手で隠した。・・・」なんて書いてあるから、
余計「片方しか確認していない・・・？」と思ったりして・・・）
マルティンは心の平安を得られマシタ！　アリガトウ！　・・・？？

なお、Ｎｏ．１８のお礼で書いている
「投げられたコインを１枚ずつ手の平で握ったとき」
の例で、
（Ａ，Ｂ）＝（表，表）と（Ｂ，Ａ）＝（表，表）
は事象としては違うのではないか、
ということについて、
「確かに事象として違いますが（表，裏），（裏，表），（裏，裏）にも同じことが当てはまるので・・・」
という点は、（結果的には値が同じになるので）了解いたしました。

ただ、（その「Ｎｏ．１８のお礼」で書いているとおり、）
（開いた手，もう一方の手）＝（裏，表）の場合も、
もう一方の手を開いた段階で
「一方が表であることが判ったとき、もう一方が裏である」
という条件に当てはまる、
という点がどうもよく分からないのです！！

「Ｎｏ．１８のお礼」の例で想定しているのは、
「一方の手を開いた」時点で、「もう一方が裏の確率は？」と発問する訳なので、
まず一方の手を開いたら「裏」で、次にもう一方の手を開いたら「表」という場合は、
「まず一方の手を開いたら「裏」」という時点で、発問しない場合になると思うのですが。
ですから、（発問した時点で）問題の条件を満たす場合は、（回答者さんの表現を使うと、）
（表，表），（表，裏）
の２通りしかないと思うのですが・・・

すると、答はやはり　１／２　となると思うのですが、どうなのでしょうかね？？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。
（「回答へのお礼」の字数制限の関係で、こちらに書かせていただきました。悪しからず！）

回答No.18

tarame

No.13です。
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では、こんな例はいかがでしょう？
ある人が、両方の手の平にコインを１枚ずつ（ランダムに）載せて、
そのまま握ってコインを隠します。
そして、一方の手の平を開いたら、中のコインが表だったとき、
もう一方の手の中のコインが裏となっている確率は？
というような場合はどうでしょうか？
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この場合なのですが、
１枚ずつ２回投げた場合と同じことなので、
１回目に関係なく、２回目(もう一方)が裏になる確率は、1/2 になりますよね。
問題文の場合は、「２枚のコインを投げる」という表現だけなので
「同時に投げて、同時に見る」という判断になるかと思います。

また、こういう解釈もできます。
(開いた手,もう一方の手)＝(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)とすると
(裏,表)の場合なのですが、もう一方の手を開いた段階で
「一方が表であることが判ったとき、もう一方が裏である」
という条件に当てはまりますよね。
したがって、条件を満たす場合は(表,表),(表,裏),(裏,表)になると思います。

お礼

繰り返しのご回答をありがとうございました。

「問題文の場合は、「２枚のコインを投げる」という表現だけなので
「同時に投げて、同時に見る」という判断になるかと思います。」
こうした感じも、私にはよく分からないのですが・・・

どうもやはり、バチカン市国に乗り込んだルター？って感じですかね？？
（スミマセン、歴史には滅法弱いもので・・・）

「また、こういう解釈もできます。
（開いた手，もう一方の手）＝（表，表），（表，裏），（裏，表），（裏，裏）とすると・・・」
とありますが、２枚のコインは別な物体ですから、
例えば（表，表）にも２通りの場合があるのではないでしょうか？
つまり、２つのコインをＡ，Ｂとおくと、
（開いた手，もう一方の手）＝（Ａ，Ｂ）＝（表，表）
という場合と、
（開いた手,もう一方の手）＝（Ｂ，Ａ）＝（表，表）
という場合とでは、事象として違うと思うのですが・・・

ルターは異端児ダ～ッ！！
この辺も「感覚の違い」の問題でしょうか？

「（裏，表）の場合なのですが、もう一方の手を開いた段階で
「一方が表であることが判ったとき、もう一方が裏である」
という条件に当てはまりますよね。」
ということですが、この（裏，表）の場合は普通は
「一方が裏と判った」後に、「もう一方が表と判る」
というように解釈すると思うのですが・・・

孤独なルターはどこへ行く・・・

では、こんな例ではいかがでしょうか？
「ボクが２枚の１００円玉を投げたら、一方が表だった。もう一方が裏である確率を求めよ。」
これだと、答は　２／３　でも　１／２　でもよい？

・・・何となく分かってきたぞ！？？　ルターも改宗か？！！

回答No.17

SortaNerd

No12です。
原文を見て分かりました。
その書き方ならば答が2/3の方の状況にしか読めません。
やはりその数学者はちゃんと分かった上で状況説明をしていますね。
投げたコインについて「一方が表」ということができる状況は「表表」「表裏」「裏表」の3つで、それは同様に確からしいと言えます。

…と思ったのですが、書き込み直前で思い直しました。

それは出題後のみを考えた場合であって、出題前の状況まで考えると
A.出題者はコインを投げたとき「教えてあげられるのは1枚が表」という出題をしようとしていた(裏裏ならば出題できない)
ならば2/3ですが(これは「裏裏でない」条件での確率となる)
B.出題者はコインを投げたとき「教えてあげられるのは1枚が[表or裏]」という出題をしようとしていた
となるとコインを見たときに
「表表」→「1枚が表」と出題
「表裏」→「1枚が表」「1枚が裏」どちらかを出題
「裏表」→　　〃
「裏裏」→「1枚が裏」と出題
となり、出題内容の確からしさが変わってしまいます。
(「1枚が裏」ではなく)「1枚が表」と出題された条件での確率です。
まさに条件付確率の問題ですがその条件のとり方が不明瞭なわけですね。
結局1/2、2/3どちらもありうるということになりそうです。

あと、原文と質問文は全く別物にしか見えませんのでこういう文章が微妙な確率の問題を質問する時にはもう少し気を配ってください。
原文を書くと著作権とか問題になるのは分かりますが…(多分引用の範囲内ですよね)

お礼

再度のご回答をありがとうございます。

この問題は、微妙な文章表現の違いによって、それほどはっきりと解釈が違ってきて、
答も違ってくる問題ということでしょうかねぇ。

「２枚のコインを投げて一方が表と判ったとき、もう一方が裏である確率は？」(*)
という表現の場合は、
・両方を見た上で、少なくとも一方が表　…　２／３
という解釈よりも、
・ランダムに選んだ"一方"が表　…　１／２
という解釈の方が自然だが、

「・・・次に、ボクは２枚の１００円玉を投げて、落ちてきた１００円玉を手で隠した。
教えてあげられる情報は、一方が表であることだけだ。
さて、もう一方が裏である確率を求めよ。」(**)
という表現の場合は、
「答が　２／３　の方の状況にしか読めません。
やはりその数学者はちゃんと分かった上で状況説明をしていますね。」
という解釈になる訳ですかね。

私には、(*)と(**)の解釈について、それほどの違いを感じないのですが・・・　ドンカンなんですネ、きっと。
いよいよ「四面楚歌と成りぬ！」か・・・　トホホ

繰り返しになって恐縮ですが、
両方のコインを見ておいて、相手に「（どちらか）一方は表だが、もう一方は裏か？　その確率は？」
というふうには、普通は聞かない気がするのですが・・・
普通は例えば、
両方のコインを見ておいたら、相手に「表が入っているが、裏も入っているか？　その確率は？」
というように聞く気がするのですが・・・　違うのカナ？？

なお、「出題前の状況」まで考えたＮｏ．１７さんの議論については、よく分かりませんでした。
スミマセン。もうツカレテきているし・・・孤軍奮闘状態だし・・・

問題文の解釈についてはどうでしょうか？　どうでもいいかなぁ？！？

回答No.16

eatern27

#5+#9です。(度々すいません)

＞本当は答は２通りの可能性があるが、出題している本がクイズの本なので、わざと「引っかけ」で、
＞混乱するような問題文を書いている、
＞という訳でもなさそうなのです。

あら、違ったんですか・・・。そのつもりで書いていた、ってのもちょっとあったんですが^^;

さて、

＞「・・・次に、ボクは２枚の１００円玉を投げて、落ちてきた１００円玉を手で隠した。
＞教えてあげられる情報は、一方が表であることだけだ。
＞さて、もう一方が裏である確率を求めよ。」

ここでの「ボク」は、

２枚とも表裏を確認しており、その上で、「一方が表だ」と教えた。そして、表だと教えたコインではない方のコインが裏である確率を聞いている。

２枚のコインのうちの１枚を見て、それが「表だったよ」と教えた。そして、まだ見てない(?)もう１枚のコインが裏である確率を聞いている。

どっちなんでしょうかね。(これ以外かもしれませんが)

私は後者よりは、前者の解釈の方がしっくりきますが。

まぁ、でも、
＞「これは数学で、条件つき確率といって、直感に反するものが多いだけに数学者でもしばしば混乱する。・・・」
という事を書くのなら、もうちょっと、言葉を工夫するとか、もっと具体的な状況設定を加えるとかして、他の解釈ができないようにした方がよかった、という感じはしますね。

お礼

繰り返しのご回答をありがとうございます。

やはり「私は異端！♪　どこにもイタン？♪　♪♯♪♭♪・・・」
「両方のコインを見ておいて、見えている片方のコインが裏である確率を、他の人に聞いている。」
という解釈の方が、しっくりきますかねぇ。
「私は異端！♪　どこにもイタン？♪　♪♯♪♭♪・・・」そろそろ嫌になってきました・・・フゥーッ！

でも確かに、
「直感に反するものが多いだけに数学者でもしばしば混乱する。」
と著者自身も言っているのだから、
「もうちょっと、言葉を工夫するとか、もっと具体的な状況設定を加えるとかして、他の解釈ができないようにした方がよかった、という感じはしますね。」
ですよね！！
これには同感、異端はイナン！？？

例えば、
「・・・次に、ボクは２枚の１００円玉を投げて、落ちてきた１００円玉を手で隠した。
そして、こっそりと両方のコインを見たら、一方が表であった。
さてこのとき、もう一方が裏である確率を求めよ。」
とかね。

ありがとうございました！

回答No.15

Ki4-U2

#3&6&11 です。「問題文の解釈の違い」の核心にかかわる、元のクイズ本のその部分の原文が、#11へのお礼文中で質問者さんから提示されました。

わたしが今（ひととおりの意見を読んだあとになって）これを読んだ限り、質問者さんには申し訳ない（苦笑）のですが、わたしにとっても、本の作者の意図に沿った解釈（答えが２／３となる）をするのが自然であるように思えます。

「教えてあげられる情報は、一方が表であることだけだ。」
とくにこの中の「教えてあげられる情報」の解釈が、ポイントになると思います。

（１）作者の意図(推測です)＝「教えることが許されている情報」
　誰に許されたのかというのは、『作者に(^^ゞ』とでもしましょうか。
　他にも何か知ってるけど、（クイズの都合上）教えていいのは『一方が表であること』だけ。他の何か、というのは『もう一方の裏表について』（それ以外に知り得る情報がない）。もちろんそれについては（まさにクイズの中身だから）言えない。
→答え「確率は２／３」に至る

（２）質問者さんの解釈（推測です）＝「教えることが可能な情報」
　それ以外の情報は『ボク』も持ち合わせていない。つまり、もう一方の裏表については『ボク』も知らない。
→答え「確率は１／２」に至る

わたしの場合は、（やや尊大ぶった『名探偵』キャラの口ぶりのイメージとともに(^^ゞ）
（１）のような解釈を受け入れることができた、というわけです。

（というわけで、転向表明(^^ゞになってしまいましたが）

お礼

再度のご回答を大変ありがとうございます。

やはり、人によって感じ方が違うのだなあ～、とつくづく思いました！
転向表明は構いませんが・・・　私（だけ）は異端だあ～っ！！ (ioi)
異端もいたんですねぇ！　ナンチッて・・・

閑話休題！　すみません！
もし、「教えてあげられる情報は」という表現のみによって、この問題文の条件が、
「片方だけを見たときに」でなくて「両方を見たときに」だけに限定されるとしたら、
それは「引っかけ問題」のように私には感じます。

出題者が意図的に、
「両方を見た上で相手に、一方は表だと伝えた。」
というような表現を使わずに、
「教えてあげられる情報は、一方が表ということだけだ。」
というようなちょっと婉曲的な表現を使ったのではないか、とも思ってしまいます。

繰り返しで恐縮ですが、例えば、
机の上に２枚のコインを投げたら、１枚は表が出たが、
もう１枚は机の下に落っこちて見えなくなってしまった！
さてこのとき、見えないコインが裏となっている確率は？
というような問題はどうでしょうか？

この場合には、
「教えられる情報は、一方が表であることだけだ。」
とは言えないでしょうか？
（いずれにしろ、「教えられる情報」という言い方は不自然な感じの表現だとは思いますが・・・）
そしてもちろん（？）、この場合の答は、１／２　な訳です！！？

どうでしょう？

回答No.14

A_M_K_

２枚のコインを投げて、出てくる結果は４通りになります。

表・表　どちらか一方が表
表・裏　どちらか一方が表
裏・表　どちらか一方が表
裏・裏　どちらも裏

２枚のコインが違う種類の場合は、「一方」とはどちらか決まった一枚を指す事が出来ますが、
　　　　　　　同じ種類の場合は、「一方」ではどちらか判別できない為決まった一枚を指す事は出来ません。

この問題文が
「２枚のコインを投げて、どちらか一方が表と判ったとき、もう一方が裏である確率は？」（答え………２／３）
「２種類のコイン１枚づつを投げて、片方が表と判ったとき、もう一方が裏である確率は？」（答え………１／２）
と成っていれば、間違える事は無いのですけどね。

お礼

ご回答をありがとうございます。

元の質問そのものの内容ではありませんが、
「同じ種類」のコインは区別できない、
というような話は、確率のところではよく取り上げられる話題だと思います。例えば、

「大小２個」のサイコロを振って目の和が３になる確率は？
という問題ならば、全体では６＊６＝３６通り。
そして、（大きい方の目，小さい方の目）という表現を使うと、今問題にしているのは、
（１，２）と（２，１）
の２通りあるから、答は
２／３６　＝　１／１８
となるが、これが、
「全く同じ大きさの２個」のサイコロ、という場合は、この２個が区別できないので、
全体は３６通りではなくて、２１通り。そして今は、
（１，２）と（２，１）
が区別できないから、今問題にしている場合は１通りしかないので、答は、
１／２１
となる！？？　とか、

新品の１００円玉２枚を同時に投げるとき、
２つのコインは区別ができないから、裏表の出方は、
表と表
表と裏
裏と裏
の３通りしかない！？　だから、
「表」と「裏」が両方出る確率は、１／３　である！？？？　等々・・・
（この問題は、かのダランベールも間違ったとか・・・）

どうでしょうか？
Ｎｏ．１４さんのご回答の意味を取り違えているかもしれませんが・・・

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.13

tarame

こんな風に考えてはどうでしょうか！

多人数で一斉に、２枚のコインを投げます。
２枚のうち少なくとも１枚表がでた人だけ残します。
その中で裏がでている人は、全体の２／３になりますよね！

お礼

ご回答をありがとうございます。

具体的で分かりやすい例をありがとうございました。
この例も、「２枚のコインの両方を見て、どちらか一方が表のとき、・・・」という解釈ですよね。
やはり、こちらの解釈の方が“自然”なのでしょうかねぇ！？
・・・私（たち）は異端児デ～ス　(^o^!

では、こんな例はいかがでしょう？
ある人が、両方の手の平にコインを１枚ずつ（ランダムに）載せて、そのまま握ってコインを隠します。
そして、一方の手の平を開いたら、中のコインが表だったとき、
もう一方の手の中のコインが裏となっている確率は？
というような場合はどうでしょうか？
・・・この場合は、答は　１／２　になりますよね！？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.12

SortaNerd

問題文の解釈の違いですね。
・ランダムに選んだ"一方"が表　…1/2
・両方を見た上で、少なくとも一方が表　…2/3
となることはいいと思います。

私は「ランダムに一方」という解釈が自然だと思います。
「一方が表」に対して、「"もう一方"が…」と言うということは、「一方」というものがあるわけですよね。これを「(少なくとも)一方が表」という解釈をしたら「もう一方」も何もないですよね。
この文章からNo9さんのような状況を考えるのは無理だと思います。

多分「ランダムに一方」でも2/3になると勘違いする人はたくさんいると思いますから、そのような人によって問題が間違って伝わってしまったのでしょう。

お礼

ご回答をありがとうございました。

私もそう思うのですが。「解釈の違い」だと。
ですから、答は　２／３　でも　１／２　でも間違いではない、と思います。
（ただ、どちらが「より一般的（自然）」なのかという問題は残るでしょうが。）

しかし、それでも気になるのは、元の問題を載せた本の著者が、それなりに名の通った数学のプロで、
この問題の解説の中で、
「これは数学で、条件つき確率といって、直感に反するものが多いだけに数学者でもしばしば混乱する。・・・」
と書いてあることです。

ですからどうも、この著者は、
本当は答は２通りの可能性があるが、出題している本がクイズの本なので、わざと「引っかけ」で、
混乱するような問題文を書いている、
という訳でもなさそうなのです。
真面目に、答は　２／３　のみである！と考えているようです。
どう考えたらよいでしょうか？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.11

Ki4-U2

#3=6 です。
わたしや質問者さん、#7=8さんが引っかかったのは、元の設問の
「一方が表”と判ったとき”」
なのですね。
わたしはこれを読んで、
「じゃあもう一方は（手で伏せるなどして）まだ判ってない状態なんだ」
と暗黙のうちに解釈し、#5=9さんの指摘する
「どちらか一方のコインを見てみると、それが『たまたま』表だった」
という解釈に至ったわけです。

#5=9さんの「第3者……」のような場面設定が、うまくできなかったわけです。

#2さんの参照URLの設問のように、単に
「1枚が表”であるとき”」
としてある場合は、（これを読んだときは納得せず、#3を書いたわけですが、さらにあとで読み直すと）
最終的に納得したわけですが。
（ですから、元の設問の意図もこれと同じで、答えは２／３、というのは理解します）

とはいえ、元の質問の本の書き方（聞きかじりで質問されたわけではないから、ほぼ原文のとおりと思います）
が、少し紛らわし”すぎ”ではないかな、と思ったのでした。

お礼

繰り返しご回答をいただき、大変ありがとうございます。

やはり、元の問題文には「解釈上」の問題点がありますよね！
ご参考までに元の問題文の原文を書くと、
「・・・次に、ボクは２枚の１００円玉を投げて、落ちてきた１００円玉を手で隠した。
教えてあげられる情報は、一方が表であることだけだ。
さて、もう一方が裏である確率を求めよ。」
というものです。どうでしょうか？

これをどのように解釈するかは、人によって違ってくると思われます。
それを、これは「両方を見てから、少なくとも一方が表である場合を考えている」とだけ解釈し、
答を　２／３　とだけに限定するのは、ちょっと問題がある気がするのですが・・・

どうでしょうか？

回答No.10

tadasi1

コインの一方は，表だと分かっています。
よって，考えられるのは
表を主にすればいいので

表　　裏
表　　表
裏　　表

です。

答え　もう一方が裏になる確率は，３分の２　になります。

お礼

ご回答をありがとうございます。

やはり、３通りの中の２通りということでしょうか。
こちらの意見の方のほうが、どうやら多いようですね。
こうした発想の方が“自然”なのでしょうか、元の問題文から連想するのは・・・

しかし例えば、
２枚のコインを長靴の中に投げ込んで（ちょっと臭いかな？！）、
手探りで上下をそのままにしながら１枚を取り出したら、
そのコインが表だったとき、まだ長靴の中にあるもう１枚のコインが裏である確率は？
といった場合も、
「片方が表と判ったときに、もう一方が裏である確率は？」
という元の問題文に当てはまるケースの気がするのですが・・・
（この場合の答は　１／２　となる訳です。）

どうでしょうか？