ピンとこない数列

質問

たとえばこんな数列があったとして・・・

a1=2,a2=5,a3=8,a4=11,a5=14

第ｎ項や、初項から第ｎ項までの和を
「公式に単純に当てはめて」求めることはできます。

でも公式ではなく理屈で考えると・・・
第５項、つまり、a5を求めたいのであれば
a5=2+(3+3+3+3)=14ですよね。

第５項までの公差を足して求めている。
でもこれは第５項までの和ではないというのがひっかかるのです。
もちろん、素直に2+5+8+11+14=80と足せば答えは違ってくるのすが。

第５項までの公差を足すことと、第５項までの和を求めることは
何が違うのでしょうか。自分でもはっきりとわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.5

R_Earl · ベストアンサー

> 第５項までの公差を足すことと、第５項までの和を求めることは
> 何が違うのでしょうか。自分でもはっきりとわかりません。

勝手に文章をお借りします。

a5 → 『第５項までの公差を足すこと』

ということなら、

a1 → 『第１項までの公差を足すこと』
a2 → 『第２項までの公差を足すこと』
a3 → 『第３項までの公差を足すこと』
a4 → 『第４項までの公差を足すこと』

となりますよね？
そうすると第５項までの和は、a1 + a2 + a3 + a4 + a5ですから

第５項までの和
= a1 + a2 + a3 + a4 + a5
= 『第１項までの公差を足すこと』+
『第２項までの公差を足すこと』+
『第３項までの公差を足すこと』+
『第４項までの公差を足すこと』+
『第５項までの公差を足すこと』

となりませんか？
「第5項までの和」の中に、「第5項」は内包されていますが、
「第5項までの和」の中には「第1項」や「第2項」といった余分なものも内包されます。
余分なものも混じっているので、「第5項までの和」≠「第5項」ですよね？

他の回答者の皆さんも書かれていますが、
数列の和には次のようなイメージを持つと良いと思います。

a1 = 2 （初項2が1個、公差3が0個）
a2 = 2 + 3 （初項2が1個、公差3が1個）
a3 = 2 + 3 + 3 （初項2が1個、公差3が2個）
a4 = 2 + 3 + 3 + 3 （初項2が1個、公差3が3個）
a5 = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 （初項2が1個、公差3が4個）

第5項までの和は、上に載せたa1～a5を足したものだから、

a1 + a2 + a3 + a4 + a5
= 2 +
2 + 3 +
2 + 3 + 3 +
2 + 3 + 3 + 3 +
2 + 3 + 3 + 3 + 3
= (2 × 5) + (3 × 10) （初項2が5個、公差3が10個）
= 40

つまり、「第5項」は初項が1個、公差が4個が足されたものですが、
「第5項までの和」は初項が5個、公差が10個が足されたものです。

こんな感じで理解できたでしょうか？
文章のみで考えるとこんがらがるので、図にするのが一番だと思います。

お礼

とてもイメージしやすいご回答でした。
これで理解できました。スッキリです。

ありがとうございました。

回答No.4

tono-todo

何を言っているのか？？

第５項は確かに
２＋（３＋３＋３＋３）で公差の和ですが、１項から４項は足されていません。
これに第４項をたすということは
２＋（３＋３＋３）を足すことです。ここにも公差の和が顕れる。
第５項までの公差を足すことは、公差をたすことであって、項を足すことではありません。
余りにも直感過ぎて説明に困ります。

お礼

すみません、ほんと直感的な質問ですよね。
ですが、こまかく分けて考えてみるとなるほどと
わかるようになれました。

ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

>>　何が違うのでしょうか。

>>　　　　　　　　　　A1=[2]=2+0・3=[2]　
>>　　　　　　　A2=[2+(3)]=2+1・3=[5]　　
>>　　　　　A3=[2+(3+3)]=2+2・3=[8]　　
>>　　　A4=[2+(3+3+3)]=2+3・3=[11]
>>　A5=[2+(3+3+3+3)]=2+4・3=[14]
>>　　　　　　・・・
>>　An=2+(3+3+3+3+・・・)=2+3(n-1)=3n-1

>> S1=A1
>>　　 =[2]
>> 　　=2

>> S2=A1+A2
>> 　=[2]+[2+(3)]
>> 　=[2]+[5]
>> 　=7

>> S3=A1+A2+A3
>> 　=[2]+[2+(3)]+[2+(3+3)]
>> 　=[2]+[5]+[8]
>> 　=15

>> S4=A1+A2+A3+A4
>> 　=[2]+[2+(3)]+[2+(3+3)]+[2+(3+3+3)]
>> 　=[2]+[5]+[8]+[11]
>> 　=26

>> S5=A1+A2+A3+A4+A5
>> 　=[2]+[2+(3)]+[2+(3+3)]+[2+(3+3+3)]+[2+(3+3+3+3)]
>> 　=[2]+[5]+[8]+[11]+[14]
>> 　=40

>> 　　　　　　　　・・・

>> Sn=Σ[k=1,n](3k-1)
>> 　　=[(3/2)n(n+1)]-[n]
>> 　　=(n/2)[3n+3-2]
>>　　 =n(3n+1)/2

お礼

ひとつひとつ分解してみて考えればよかったですね。
わかるようになれました。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#62142

足し算ミスってますよ
2+5+8+11+14=40　です。

第n項を求めるってのは
a1=2
a2=2+3
a3=2+3+3
a4=2+3+3+3
a5=2+3+3+3+3
・・・
an=2+3+3+・・・+3 (3がn-1個)
　=2+3(n-1)

第n項までの和っていうのは
S1=a1+a2+a3+a4+a5
=2+(2+3)+(2+3+3)+(2+3+3+3)+(2+3+3+3+3)
としといて、、
S1の反対にしたやつ考え、
S2=a5+a4+a3+a2+a1
=(2+3+3+3+3)+(2+3+3+3)+(2+3+3)+(2+3)+2
1項め同士、2項目同士を足していく

S1+S2=(2+2+3+3+3+3)×5=80
となる
あとは全体を半分して
S=(S1+S2)/2=・・・=40

ってことですよね。

お礼

＞S1=a1+a2+a3+a4+a5
=2+(2+3)+(2+3+3)+(2+3+3+3)+(2+3+3+3+3)
こうやって並べてもらえるとわかりやすいです。
2+5+8+・・・と並べたものとにらめっこしてたので・・・

ありがとうございました。

回答No.1

okormazd

階段を考えてください。
公差の和は階段の段差の和です。
質問の数列の和は、各階段の地面からの高さの和です。
段差には１つ前の階段の地面からの高さが入っていません。

お礼

なるほど！そうイメージするとわかりやすいですね。
こんがらがったものが解けてく感じがしました。
ありがとうございました。