Z会の問題、今まで見たこともない漸化式

質問

Z会の問題で漸化式に関する次のような問題がありました。

a[n]>0
a[1]=1
a[2]=2
a[n+2]^3 - 5a[n]a[n+2]^2 - 4a[n]a[n+1]a[n+2] + 6a[n+1]^3 = 0

上記で定められるa[n]を求めるという問題なのですが、模範解答としては、a[n]=2^(n-1)と推測し、数学的帰納法で解くというものです。

しかし、これをなんらかの置き換えや、式変形で直接解く方法を考えているのですが、思いつきません。
直接の解法が思いつく方は教えていただけないでしょうか。

回答No.10

wloop · ベストアンサー

＃４です。疑問にご助言いただきありがとうございました。
これはアドバイスでなくご助言いただいたのでちょこっと
思ったことを。

＃９で「初期値f[1]=2以外で漸化式を考える意味はないよう
な気がしています。」と書きましたがご指摘頂いたように
枝分かれ等考慮したらそうでもないですね。

f[1]からf[n]を求める場合で、f[n]>0の場合について考えると、
まず枝分かれについてはこれを許しとりうる値のいずれかをとる。
次に漸化式より次の値が考えている条件内でみつからない場合は
数列がそこでストップする。そう思えば

初期値0<f[1]<2^(1/2)-1、2^(1/2)-1<f[1]<2の場合は
（１）数列の値がストップするか
（２）無限に続く場合は2^(1/2)-1に収束する。
初期値f[1]=2^(1/2)-1の場合はf[n]=2^(1/2)-1またはストップ。
初期値f[1]=2の場合はf[n]=2。
初期値2<f[1]の場合は初項でストップする。

数列の値がストップするのを考慮すれば＃８の話もまあ
いいかも知れません。

f[n]<0も許すと、枝分かれについてはf[n]>0の場合と
同様に考える。g(x)のグラフを見た感じでは
行き先がなくて数列がストップするということはなさそうですね。
f[n]は2^(1/2)-1または-(2^(1/2)+1)に収束しそうです。

ピタゴラス数のリンクは後で読んで見たいと思います。教えて
頂いてありがとうございました。

回答No.11

Mr_Holland

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞a[n]>0という条件をはずしたらどうなるとか、
＞問題作成の根拠とか、
＞係数を変えたときはどうなるかとか、
＞はよく分かりません。

　　b[n+1]^3-5b[n+1]^2/b[n]-4b[n+1]/b[n]+6＝０　（b[n]＞０）
　　b[1]＝２

　推測ですが、この問題は、上記のb[n+1]の３次方程式から作成したのではないかと思っています。
　ご承知の通り、３次方程式の実解は最大で３つありますが、実解がただ１つになるように係数やb[n]の条件を決めると漸化式として成立することになります。
　（b[n]からb[n+1]が複数個できるようでは、一般項を求めることは困難になりますから。）

　ここで、３次方程式の実解がただ１つになるようにするためには、
　　（１）　１実解と２虚解
　　（２）　１実解と２実重解　（ただし、条件をつけて片方を排除する）
　　（３）　３実重解
　　（４）　３実解　（ただし、条件をつけて２実解を排除する）
の４パターンが考えられますが、この問題では（２）のパターンを使ったものと思われます。
　他に（１）や（３）、（４）のパターンも考えられますので、これらが成立するようにb[n]や他の係数を決めれば、（１）や（３）、（４）のパターンの問題を作ることができると思います。

　ただし、ご存じだと思いますが、b[n+1]＝b[n]　となるようにすることがこの問題のミソです。
　そうでないと、３次方程式の係数が　ｎによって変わってしまいますからね。

回答No.9

wloop

＃４です。＃８で長々と書きました。

アドバイスでなく疑問なんですが
逆に初期値f[1]からf[n]を求めることを考えるとg(x)の逆関数、
つまりｙ＝ｘに関して対称なグラフを考えて同様なことをすれば
いいと思うのですが、f[n]>0で考えると、初期値f[1]が0<f[1]<2
の場合は、そのグラフからはf[2]が一意に決まらず二つの候補がでる。
つまりa[3]の候補がふたつでる。2<f[1]の場合、f[n]>0の範囲で
はf[2]すら求まらない。つまりa[3]がもとまらない。

これは＃３さんがいわれてる枝分かれと関係してるんでしょうか？

＃８の話は初期値f[1]=2以外の場合も漸化式を使って議論してるように
みえるのですが、初期値f[1]=2以外で漸化式を考える意味はないよう
な気がしています。

お礼

まことに恐縮です。じっくり拝読いたしました。

＞いいと思うのですが、f[n]>0で考えると、初期値f[1]が0<f[1]<2
の場合は、そのグラフからはf[2]が一意に決まらず二つの候補がでる。
つまりa[3]の候補がふたつでる。

ここでは、元の問題の条件、
a[n]>0
a[1]=1
a[2]=2
をはずして考えます。
y=g(x):=x・(5・x+4)/(x^3+6)
のグラフを、xが負の範囲も含めて考えると、初期値f[1]=a[2]/a[1]が決まったとき、
f[1]=x・(5・x+4)/(x^3+6)
の解xがf[2]になりますが、解の個数の可能性はグラフから、1個or2個or3個になります。
つまりa[3]の候補も、1個or2個or3個になります。
そういった枝分かれをしていくと思います。

しかし、f[n]からf[n-1],…,f[1]が一意的に定まるということは、
それらの枝分かれはすべて異なっていると思います。

枝分かれということで思い浮かぶのは、ピタゴラス数です。
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
枝分かれを含めて考えたほうが面白いかもしれません。

回答No.8

wloop

#4です。

>f[n]≠２であればf[1]≠２
>というのはすぐには分からないのではないでしょうか？

これは実際グラフを書いてみないとわからないと思います。
グラフを書いてみてください。

x≧0の範囲でy=g(x)のグラフを書くと、x=0,2^(1/2)-1,2の３点が
不動点（y=xとの交点）であることが分かります。
g(x)はx>2で減少しますが、x>2でg(x)=2^(1/2)-1となる点
をx0で表します。値はx0=12.789…です。

以下はy=g(x)とy=xのグラフ
及び漸化式f[n]=g(f[n+1])からわかることですが

（fに関する漸化式を使ってｆの値をもどす手順ですが
まずy=g(x)にx=f[n]を代入しy=g(x)上の点Ａ(f[n],f[n-1])をもとめます。
f[n-1]がy座標としてもとまります。次にその点からx軸に平行に線を引きy=xとの
交点Ｂ(f[n-1],f[n-1])を求めます。その交点Ｂからy軸に平行に線を引きy=g(x)
との交点Ｃを求めるとその点Ｃは(f[n-1],f[n-2])となりf[n-2]がy座標として
もとまります。再度Ｃ点からx軸に平行に線を引き...
と同じ操作を繰り返すと順にf[n-1],f[n-2],f[n-3]…ともとまります。）

a[n]＞０よりf[n]＞０の場合のみ考えます。場合わけして考えます。
（１）０＜f[n]＜2^(1/2)-1の場合はｆに関する漸化式で
ｆの値をもどしていくとその値は上から０に近づくことが
わかります。したがってf[1]≠2。
（２）f[n]=2^(1/2)-1の場合は、これは不動点ですので
f[1]=f[n]≠2。
（３）2^(1/2)-1＜f[n]＜2の場合、この場合はfに関する漸化式で
ｆの値をもどしていくとその値は下から２に近づくことが
わかりますが極限の値として２になるわけで有限回では
２の値に戻りません。したがってf[1]≠2。

(ここも丁寧にいうとめんどうかも知れませんが、似たような状況として
はじめに0＜s(n)＜1にある値が漸化式s(n-1)=s(n)^2つまり二次関数で
表される漸化式でsの値を戻していく場合を考えてください。
s(n-r)=(s(n))^(2^r)となり０に収束しますが有限回では０になりません。
実際(x,y)=(2,2)近傍ではg(x)は-1/2・(x-2)^2+2と二次関数で近似できます。）

（４）f[n]=2の場合は、不動点ですから漸化式でｆの値を
もどしても値はかわりません。したがってf[1]=f[n]=2。
（５）2＜f[n]＜x0の場合、この場合は2^(1/2)-1＜f[n-1]＜2となるので
ｆの値をもどしていく操作は（３）に帰着しますので有限回では
２の値に戻りません。したがってf[1]≠2。
（６）f[n]=x0の場合、f[n-1]=2^(1/2)-1となり以降のｆの値を
戻していく操作は（２）に帰着します。したがってf[1]=f[n-1]≠2。
（７）x0<f[n]の場合、０＜f[n-1]＜2^(1/2)-1となり以降のｆの値を
戻していく操作は（１）に帰着します。したがってf[1]≠2。

以上よりf[n]≠2ならf[1]≠2がわかります。つまりf[1]=2となるのは
値の変えない数列：f[n]=2の場合のときのみというのが分かります。
文章で説明すると長くなりますがグラフをみると明らかだと思います。

漸化式が一般の非線形な式で表されているので一般項を式で表すのは
難しいと思われますが、初期条件から、求める数列が漸化式の不動点
にあたる特別な場合なので一般項が簡単にあらわせたのだ
と思います。

お礼

まことに恐縮です。じっくり拝読いたしました。
グラフも書きました。

不動点は(2,2)のほかに(2^(1/2)-1,2^(1/2)-1)もあるので、
初期条件a[1]=1、a[2]=2
を
a[1]=1、a[2]=2^(1/2)-1
に変えると、一般項は、
a[n]={2^(1/2)-1}^(n-1)
となるのですね。

a[n+1]=f(a[n])
という形の数列の挙動や極限は、カオス理論のロジスティック写像というもので見たことありましたが、
数列の比f[n]=a[n+1]/a[n]と
逆写像f[n]=g(f[n+1])を考えることは、初めて見ました。

数列の比を考えることは、数列から生成される関数の収束半径を考えるのに役立ちそうですが、逆写像というものがどれくらい役立つのかは想像できません。

回答No.7

arrysthmia

No.2 での解の唯一性について、いくつかの指摘を受けているが、
アレは、a[n] = (1/2)・2^n を推定するための思考過程。
女神とか電波とかが啓示を与えてくれない人にとっては、
山勘にも思考過程が必要だと思う。

a[n] = 2^(n-1) と見当がついたら、後は、模範解答どおり、
数学的帰納法でソレを示せばよい。
その際、条件 a[n] > 0 から a[n] = 2^(n-1) が唯一解となる
ことは、No.5 に解説されている通り。

回答No.6

wloop

#4です。訂正です。３段落目と４段落目は「てにをは」がへんですので以下のように訂正してください。

「点(x,y)=(2,2)はy=g(x)とy=xとの交点で関数g(x)による変換の
”不動点”になっています。これは上の関係式f[n]=g(f[n+1])を満たし
ているものの中に値を変えない数列：f[n]=2があることを意味します。
問題の数列の初期条件より初項はf[1]=2ですので、ちょうど与えられ
た初項と関係式f[n]=g(f[n+1])を満たすものは上で述べた数列：f[n]=2だとわかります。

上に述べたグラフからあるnでf[n]≠２であればf[n]から逆に戻って有限回で
fの値が２になることはないとわかるのでf[n]≠２であればf[1]≠２だとわかります。」

以上訂正終わりです。g(x)のグラフは実際にソフトかなにかで書いてみると様子がわかりやすいです。

回答No.5

Mr_Holland

両辺をa[n+1]^3で割って、b[n]＝a[n+1]/a[n] で置き換えてみてください。

　　b[n+1]^3-5b[n+1]^2/b[n]-4b[n+1]/b[n]+6＝０　（b[n]＞０）
　　b[1]＝２

　ここで、上の方程式から　b[2]　を求めてみますと、b[n]＞０　を満たすb[2]は　b[2]＝２　しかないことが分かります。
　このことは、b[n]＝２　とすると、必ず、b[n+1]＝２　となることを示していますので、
　　b[n]＝２
と分かります。
　あとは、これをa[n]に置き換えれば、模範解答の等比数列が得られます。

お礼

ありがとうございます。
b[2]＝２を求めるところが、直接解くという方針とちょっとずれるかもしれないのが気になりましたが、いいアイデアだと思いました。

a[n]>0という条件をはずしたらどうなるとか、
問題作成の根拠とか、
係数を変えたときはどうなるかとか、
はよく分かりません。

回答No.4

wloop

#2さんのいわれるとおり関係式が同次式なので
a[n+2]^3 - 5a[n]a[n+2]^2 - 4a[n]a[n+1]a[n+2] + 6a[n+1]^3 = 0
をa[n+1]^3で割ります。
そうすると連続する数列の比をf[n]:=a[n+1]/a[n]で定義し、
式を整理すると
f[n]=f[n+1]・(５・f[n+1]+4) /(f[n+1]^3+6)
　　=g(f[n+1])
の関係が得られます。f[n+1]からf[n]が決まる式です。
ただしg(x):=x・(5・x+4)/(x^3+6)

ここで、y=g(x)とy=xのグラフを書いてやるとこれらのグラフより
f[n]から逆に戻ってfの初期値をもとめることができます。

点(x,y)=(2,2)はy=g(x)とy=xとの交点で関数g(x)による変換の
”不動点”になっています。これは上の関係式をf[n]=g(f[n+1])満たし
ているものの中に値を変えない数列がf[n]=2があることを意味します。
問題の数列の初期条件より初項はf[1]=2とですので、ちょうど与えられ
た初項と関係式f[n]=g(f[n+1])を満たすものは上で述べた値を数列f[n]=2だとわかります。

上の述べたグラフからあるnでf[n]≠２であればf[n]から逆に戻って有限回で
fの値が２になることはないとわかるのでf[n]≠２であればf[1]≠２だとわかります。

お礼

ありがとうございます。

f[n]:=a[n+1]/a[n]で定義すると、
f[n]=f[n+1]・(５・f[n+1]+4) /(f[n+1]^3+6)

という式はわかりやすいと思いました。
f(n+1)=2 ならば　f(n)=2
というのは分かりますが、
f[n]≠２であればf[1]≠２
というのはすぐには分からないのではないでしょうか？

回答No.3

gef00675

#2のようにa[n]として等比数列の形を仮定すれば、
公比の候補が３つ得られ、そのうち、条件a[1]=1、a[2]=2を満たすものとして
a[n]=2^(n-1)の形がえられるのですが、困ったのはその先。
a[n]>0,a[n+1]>0が決まったとしても、問題文の３次式を満たすようなa[n+2]は、最大３個の可能性があり、そのうちa[n+2]>0なるものがただ一つに決まる（よってa[n]=2^(n-1)の形以外にない）ということを、きちんと示す必要があると思います。
この点をちゃんと確かめないと、a[n]の数列が無限に枝分かれしていく可能性が残ってしまいます。枝分かれしていくようでは、もはや、数列を定めるための漸化式とはいえないでしょう。

これを出題した人は、その辺をどう処理したんでしょうね？
それとも、単に、条件を満たす数列の候補を一つ見つけよという意図ですかね？

お礼

ありがとうございます。
確かに無限に枝分かれしていく可能性がありますね。
模範解答では、一般項をa[n]=2^(n-1)と推測し、数学的帰納法で解くというものですが、
a[n]=2^(n-1),a[n+1]=2^nが決まったとき、a[n+2]>0なるものがただ一つに決まることは、x=a[n+2]として、
３次方程式
a[n+2]^3 - 5a[n]a[n+2]^2 - 4a[n]a[n+1]a[n+2] + 6a[n+1]^3 = 0
が
{x - 2^(n+1)}^2 {x + 3*2^(n-1)} = 0
となることから分かります。

a[n]>0という条件をはずしたらどうなるとか、
問題作成の根拠とか、
係数を変えたときはどうなるかとか、
はよく分かりません。

回答No.2

arrysthmia

うんざりするような漸化式だが、
a[ ] について同次形であることに注目して、
等比数列が解にならないか試してみる
くらいの山勘は働いても良いように思う。

試して確認するまで、何の保証も無いが、
とりあえず、a[n] = a・r^n と置いてみると、
左辺から (a・r^n)^3 が括り出せて、
漸化式は r の方程式に化ける。
その解が、a[2] / a[1] と一致するか否か…

お礼

ありがとうございます。
a[n] = a・r^n とか、a[n] = b[n]・r^n とか置くような方法は、微分方程式でみたことがあります。

回答No.1

noname#103103

とりあえず漸化式がややこしく、a_3=4を出すにも３次方程式
(a_3)^3-5(a_3)^2-8a_3+48=0 を解くんですが因数分解の候補となる解が±｜定数項｜の約数/｜最高次の係数｜の約数　　で±48/1 で
－を含めると候補が２０個になっちゃうんで、まあ４は比較的小さいから代入する気にもなるんかもしらんけれどa_3出して帰納法以外のことをテストでやる時間はないでしょう。

まあカルダノの解法でa_3出すなんてのは思いつかないでしょうしね。

お礼

ありがとうございます。
たぶん、普通の方法は、a[3]くらいまでを求めてから、一般項を推測するものと思います。