漸化式から非負を言いたい

質問

a_(n+3)=5a_(n+2)+5a_(n+1)-a_n a_0=1 a_1=0 a_2=5

の漸化式から、すべてのｎについて、a_n≧０を言いたいのですが、帰納法をどう使えばいいでしょか。
直接示せたりするものでしょうか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

こういう時は、もっと主張を強めると、その方が証明がしやすいことが多い。

もっと強めて、「a_(n+2) ≧ a_(n) ≧ 0, a_(n+1)≧0 」を数学的帰納法で示してみる。 n=0の時は明らか。
nからn+1の時を示すのは、「a_(n+2) ≧ a_(n) ≧ 0, a_(n+1)≧0 」なら「a_(n+3) ≧ a_(n+1) ≧ 0, a_(n+2)≧0 」を示せばよいが、a_(n+2) ≧ 0、a_(n+1) ≧0は仮定より明らか。a_(n+3) ≧ a_(n+1)は、

a_(n+3) = a_(n+1) + { 4 * a_(n+2) + (a_(n+2) - a_(n)) + 4a_(n+1)}

であるから仮定よりなりたつ。

回答No.2

f272

直接に示す方針なら一般項を求めます。
a_n=(1/8)(6*(-1)^n+(3+2√2)^n+(3-2√2)^n)
第1項は振動，第2項は指数的に増加，第3項は0に上から収束です。
a_0=1 a_1=0 a_2=5であって，a_3以降は第2項の増加が支配的になることから，a_nが非負になるのはほとんど明らかでしょう。