固有周期の求め方を教えてください。

質問

建物なんかの固有周期(地震時)を求めるとき、どんな参考書にも、質量のない棒の先端に「質点」があり、
Ｐ→○
＿＿┃＿＿
//////////
そこに力Ｐが加わったときを考える場合が載っていると思います。
この場合は、ばねの振動と同じですから、
Ｔ＝２π√(m/k)
となるはずです。

しかし、質点ではなく、棒に質量ｍがある場合
＿＿┃＿＿
//////////
の固有周期の求め方が、どの本を見ても出ておりません。

どなたかご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

「どの本を見ても出ておりません」　←　そんなことはありませんよ。
ただし、固有周期という概念よりも、その逆数の固有振動数の方が一般的ですから、少々頭の中を切り替えましょう。

このサイトで、「梁　固有振動数」をキーワードに検索をかけてご覧なさい。すると、片持ち梁の固有振動数ｆとして、
ｆ＝{1/(2π)}(1.875/L)^2√{(EI)/(ρA)}・・・(1)
という式が出てきます。
振動関係の本を本屋で立ち読みすれば、当然この式が出てきます。

質量のない棒の先端に質量mがある場合の式は、あなたが書かれた式の分子分母をひっくり返して、
ｆ＝{1/(2π)}√{k/m}・・・(2)
となります。

この形に合うように、上記片持ち梁の式(1)（＝質量Mが梁全体に分布する場合）を変形すると、
ｆ＝1.172　×　{1/(2π)}√{k/(M/3)}・・・(3)
となります。ここで、Mは梁の質量です。
式(3)の意味するところは、もし片持ち梁の式を知らなくても、
・先端に集中質量mが存在する場合の固有振動数は式(2)となる、
・分布質量Mは、その1/3を先端に集中して作用させたのと等価になる、
という２つのことを知っていれば、推測は可能であるということです。

式(3)で計算すると、固有振動数は、1/1.172だけ小さくなりますが、固有振動数が小さめに計算されて来ることは、設計上は安全側となるので、これを、分布質量Mと集中質量mとが混在する場合に拡張した次式
ｆ＝{1/(2π)}√{k/(m＋M/3)}・・・(4)
は、設計案が固まらないうちに固有振動数を推測し、構造を改善する作業を行う場合には、よく利用されています。

ところで、「なぜ、分布質量Mはその1/3を先端に集中して作用させたのと等価になるのか？」（逆に、なぜ1/2でないのか？）は、理論的な裏づけがありますが、それはご自分で勉強なさって下さい。

お礼

ありがとうございます(>_<)
私の勉強不足でした↓↓

本で勉強してみようとおもうのですが、建築構造力学とは別に、建築振動という分野があるのですか??
構造力学の参考書に振動のことが書かれているのが見つからなかったもので↓

回答No.2

h191224

> 建築構造力学とは別に、建築振動という分野があるのですか??
> 構造力学の参考書に振動のことが書かれているのが見つからなかったもので

この質問をする前に、たとえばGoogleで、”建築振動”をキーワードとして、検索をかけてみましょう。
そうすれば、あなたの期待する回答が、すぐに出てきます。
質問の前に、まず自分で調べてみる、というのが、今後の人生の基本です。

なお、建築振動という、建築に限定された振動の世界のほか、機械振動という世界もあります。