図のような質量の無視できる長さＬの棒に質量ｍがついてます。

質問

図のような質量の無視できる長さＬの棒に質量ｍがついてます。
棒の端からｄの位置にばね定数ｋのばねがついていて、棒端の摩擦がない軸を中心に棒・ばねを振動させます。

重力加速度をｇとした時、この系の固有振動数は右のようになるのですが、頭が悪い自分には導き方がわかりません…

どうか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

つりあい位置を最下点とします（棒が鉛直になっているとき、ばねは自然長）。

棒の微小角変位を右へθとします。

振り子の慣性モーメントは、mL^2
重力によるトルク ＝ -mg・Lsinθ ≒ -mgLθ
ばねによるトルク ≒ -kdsinθ・d cosθ ≒ -kd^2θ

したがって、系の回転の運動方程式は、

mL^2θ'' = -(mgL + kd^2)θ　　※''は時間による２階微分
∴　θ'' = -(mgL + kd^2)/(mL^2) ・θ

一般に単振動の加速度は　x'' = -ω^2 x　と書けますから、

ω = √[(mgL + kd^2)/(mL^2)]

となります。

お礼

回答ありがとうございます。
モーメントとトルクをどう結びつけるかがいまいちわからず、yokkun831さんの丁寧な途中式を拝見してやっとわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

JUNqwe

ラグラジアン方程式をたてて計算してみてはどうでしょう

お礼

回答ありがとうございます。
ラグランジュの方程式のことでしょうか。
調べてみたいと思います。