初歩的な問題だと思うのですが・・・。

質問

「14枚のカードが重なり合っています。今下から一度に6枚とり、そのままの状態で上に重ねます。これを繰り返し行うと最初に一番下にあったカードが次に一番下にくるのは何回目に重ねたときですか。」
という問題なのですが、わかる方教えて下さい。

回答No.1

noname#92489 · ベストアンサー

１４と６の最小公倍数は４２です。
ですので、４２÷６＝７で、7回目
じゃないでしょうか。

お礼

迅速な回答ありがとうございました。この場を借りて皆さんにもお礼を申し上げます。ポイントは先着順で付与させていただきました。

回答No.5

uzo

答えは「不可能」です。

カードに上，から１～１４の数をふりあてる。
（１）題意の操作は上の８つの数と下の６つの数を次々と
　　入れ替えていく作業である。
（２）上の８つを順に２個づつ組み合わせて４ブロックとし，
　下の６つも同様に３ブロックとする（stomachmanさんの言っていること）。

　上　（1,2）,（3,4），・・・・，（13,14），(15,16）　下

　すると（１）の作業は，この４ブロックと３ブロックを次々に
入れ替えていく作業と考えることができる。

（３）ブロックはブロックごと動く。
　したがって，各ブロックの下にある数は，絶対に一番上にはなれない。
　　～（15,16）というブロックはこのまま動いていきます。

―――――――――――――――――――
【拡張】
　n個の数（カード）を並べて，下のm個を上に重ねる操作を繰り返す，
という問題に拡張します。

　上に書いたことと同様に，もしmとn-mが互いに素でない場合，
　この作業によって，一番下の数が一番上になることはありません。
　（公約数個の元をもつブロックをつくればよい）。
　したがって，mとn-mを互いに素とします。

　この操作は，最初の数に次々とn-mを加えていって，それをｎで割った
　あまりを操作の結果とすることと同等です。
　例えばn=５，m=２であれば，物理的操作によって

　１，２，３，４，５　→　４，５，１，２，３

　となりますが，これは最初の各数字に5-2=3を加えて，５で割った余り
　を割り当てたと見なすことができます（但し余り０の場合は，５として
　いる）。
　これによって，問題を言い換えると
　（一番上の）１にn-mを次々と加えていって，それが最初にnの倍数（余り０）に
　なるときの回数を求めよ，ということになります。
　すなわち，

　　１＋（n-m）α＝ｎk　（α，Ｋは自然数）

　となるような最小のkを満たすαが求める解となります。
　（n-mとｎも互いに素なので，このようなα，ｋは必ず存在します）。

回答No.4

stomachman

すでに回答が出てますから、蛇足です。

初め上から１４枚目にあったカードは、何度操作しても常に偶数枚目にあります。（これは１４と６の最大公約数が２であるからですね。）だから引き続く２枚づつを糊付けしちゃって
「７枚のカードが重なり合っています。今下から一度に３枚とり、そのままの状態で上に重ねます。これを繰り返し行うと...」
という問題に変えても答は変わらない。
　注目しているカードが何枚目に来るかというと（てっぺんを0枚目と数えることにすると）6->2->5->1->4->0->3->6 。一回の操作はつまり、７を法として３を加えることに他なりません。最大公約数枚のカードを糊付けしちゃったので７と３が互いに素であることは必然であり、従って0～6の数字を１回づつ数えたら幾つ？という問題に帰着します。（なぜなら、もし0～6までの数字のうち２回出てくる奴があれば、それは既にサイクルを一周以上してしまっているからですし、逆に１回も出てこない数字があるのなら、公約数が存在しているということになります。）

まとめると、
　カード全部の枚数÷（全部の枚数と動かす枚数の最大公約数）＝１４÷２＝７
が答です。

回答No.3

Sarukan

14毎のカードを6毎ずつ上に載せ直して行くわけですので
すべてのカードは6の倍数分ずつ動くわけです。
そして、一番下に逢ったカードが一番最はじめに
一番下に戻ってくるという事は、そのカードは
つまり14の倍数分動いた事になります。

そのため、この問題は14と6の最小公倍数を求めるところから始めます。
最小公倍数の求め方により、

14=7x2
6=3x2

と因数分解され、それぞれの因数である「7,3,2」の積算が
最小公倍数となりますので

7x3x2=42

となります。
これを6で割り、

42/6=7

という解が得られます。
よってこの質問の回答は7回です。

回答No.2

sunasearch

初期状態から６枚ずつずれる操作を行なって，
初期状態に戻るのに何回かかるかということですね．
わかりやすくするために，一番上のカードを基準にとって，
最初に一番上にあったカードが各操作の後に，
上から何番目にあるかを考えます．（一番上を０とします）
そうすると，６つずつ下に移動することになるので，
０→６→１２→１８（４）→１０→１６（２）→８→１４（０）
（１４以上になるときは１４を引きます）
となり，７回になります．
計算で求めるには６と１４の最小公倍数４２を６で割るとでてきます．

難しく考えると，１４の剰余類とか置換群の話とかになるのでしょうが，
その辺は専門家にお任せします．