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- ichiro-hot
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● ＃１，＃２です。Σが使えないとちょっと説明に困つたけれど、次の公式はわかるだろうか？それがわかれば、理解できると思うのですが・・・ １からｍまでの自然数の和の公式 １＋２＋３＋・・・・・＋（ｍ－１）＋ｍ＝（１/2）・ｍ（ｍ＋１） ●区間[ｍ，ｍ＋１]（ｍは自然数）の中に有る分母が7の既約分数を考えて見ます。 ｍ＋（０/７）＝ｍ ： ｍは自然数は既約分数でないから省く。 ｍ＋（１/７）＝（７ｍ＋１）/７ ： ７ｍ＋１は７で割り切れないから既約分数。 ｍ＋（２/７）＝（７ｍ＋２）/７ ： ７ｍ＋２は７で割り切れないから既約分数。 ｍ＋（３/７）＝（７ｍ＋３）/７ ： ７ｍ＋３は７で割り切れないから既約分数。 ｍ＋（４/７）＝（７ｍ＋４）/７ ： ７ｍ＋４は７で割り切れないから既約分数。 ｍ＋（５/７）＝（７ｍ＋５）/７ ： ７ｍ＋５は７で割り切れないから既約分数。 ｍ＋（６/７）＝（７ｍ＋６）/７ ： ７ｍ＋６は７で割り切れないから既約分数。 ｍ＋（７/７）＝ｍ＋１ ： これは自然数だから省いてよい。 だから、[ｍ，ｍ＋１]の間には、7の既約分数は上に書いた間の６個の分数しかないことがわかります。 問題では、和を求めるので、ここでこの６個の和を求めておきます。 ７ｍが６個あるから、 ｛７ｍ×６＋（１＋２＋３＋４＋５＋６）｝/７＝６ｍ＋３ これが＃２で答えたことです。 ●次に０からｍまでの区間[０，ｍ]を考えて、それを次のようにｍ個に区切って，それぞれの区間の既約分数の和がどうなるかを上の結果（６ｍ＋３）を使ってを考えます。ｍは区間の始まりの数だったので、 [０，１]・・・・・・・６×０ ＋３ [１，２]・・・・・・・６×１ ＋３ [２，３]・・・・・・・６×２ ＋３ [３，４]・・・・・・・６×３ ＋３ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ [ｍ－１，ｍ]・・・６×（ｍ－１）＋３ ↑ これを上から下まで足して区間[０，ｍ＋１]の間に有る7の既約分数の和を求めておきます。 ｛６×０＋３｝＋｛６×１＋３｝＋｛６×２＋３｝＋・・・・・＋｛６×（ｍ－１）＋３｝ を求めますが、このとき、次のように分けて足していきます。 ● １） ６の掛け算の項の和 ｛６×０＋６×１＋６×２＋６×３＋・・・＋６×（ｍ－１）｝ ＝６×｛０＋１＋２＋３＋・・・＋（ｍ－１）｝ ここで、最後の｛ ｝の部分に上の和の公式を使います。 最後がｍまででなく（ｍ－１）までの和なので、計算しなおしておきます。（公式でｍをｍ－１とすればよい。） ｛０＋１＋２＋３＋・・・＋（ｍ－１）｝＝（１/２）（ｍ－１）｛（ｍ－１）＋１｝ ＝（１/２）（ｍ－１）ｍ これを使うと、 ｛６×０＋６×１＋６×２＋６×３＋・・・＋６×（ｍ－１）｝ ＝６×（１/２）（ｍ－１）ｍ ＝３（ｍ－１）ｍ が得られます。 ● ２） 次に『＋３』ですが、これは何個あるか？わかりますね。 ”区間のあとの数字”とそれまでの『＋３』の個数が同じになっているこに気が付くと楽ですね。最後がｍなのでｍ個です。 だから『＋３』の項の和は３がm個あるので ３×ｍ＝３ｍ です。 ● １）と２）を足せば、区間[０，ｍ]に有る７の既約分数の和が求められます。これを S（ｍ） と書いておきます。 S(ｍ）＝３（ｍ－１）ｍ＋３ｍ＝３ｍ＾２－３ｍ＋３ｍ＝３ｍ＾２ 実にきれいになってしまいました。 S(ｍ）＝３ｍ^２ です。 ● 次にｍからｎの間に有る既約分数を求めるには・・・ 『０からｎの間に有る７の既約分数の和』＝S（ｎ）から『０からｍまでの７の既約分数の和』＝S（ｍ）を引けば求められます。区間の両端のｍ，ｎは既約分数では無いので、境目については考えなくてよくそのまま引けばいいですね。それで S＝S(ｎ）－S(ｍ）＝３ｎ＾２ － ３ｍ＾２ となることがわかります。
- ichiro-hot
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● ＃１です。 なぜか整数値になる・・・良く考えたら当たり前だった。 すぐにひらめかないのが自分らしい・・・！！ ｍとｍ+1の間の７の既約分数は ｍ＜ｍ＋１/７＜ｍ＋２/７＜・・・・＜ｍ＋６/７＜ｍ＋１ の関係にあるから、その和をとると、 （ｍ＋１/７）＋（ｍ＋２/７）＋・・・・＋（ｍ＋６/７） ＝６ｍ＋｛（１/７）＋（２/７）＋・・・・＋（６/７）｝ ＝６ｍ＋２１/７＝６ｍ＋３ だから、いつも整数になるわけだ。 これを使ってｎまでの和とｍまでの和の差をとっても簡単に解けると思う。
- ichiro-hot
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● 7を分母とする既約分数をK/７ （K∈N）とすると， ｍ＜K/７＜ｎ ∴ ７ｍ＜K＜７ｎ （ｍ，ｎ∈Ｎ） Ｋ/７が『ｍ，ｎの間に有る７の既約分数』ならば，Ｋは７ｍ＜Ｋ＜７ｎの中にあって、７の倍数で無ければよい。だから，7を分母とする既約分数の和は７ｍ＋１，７ｍ＋２，・・・，７ｎ－１の和を７で割ったものから，そのうちの７の倍数になるものの和を７で割ったものを引けばよい。 Ｓ＝Σ（ｋ＝７ｍ＋１→７ｎ－１）ｋ/７－Σ（ｋ＝ｍ＋１→ｎ－１）７ｋ/７ ここで， Σ（ｋ＝７ｍ＋１→７ｎ－１）ｋ/７ ＝（１/７）｛Σ（ｋ＝１→７ｎ－１）ｋ－Σ（ｋ＝１→７ｍ）ｋ ；後ろのΣ・・・７ｍ＋１からあとを残すので７ｍまでの項を引くことに注意。 ＝（1/７）｛（７ｎ－１）｛（７ｎ－１）＋１｝/２－（1/７）・７ｍ（７ｍ＋１）/２ ＝（１/１４）｛７ｎ（７ｎ－１）－７ｍ（７ｍ＋１）｝ ＝（１/２）｛ｎ（７ｎ－１）－ｍ（７ｍ＋１）｝ Σ（ｋ＝ｍ＋１→ｎ－１）７ｋ/７ ＝Σ（ｋ＝ｍ＋１→ｎ－１）ｋ ＝Σ（ｋ＝１→ｎ－１）ｋ－Σ（ｋ＝１→ｍ）ｋ ；上と同様ｍ項までを引くことに注意 ＝（１/２）（ｎ－１）｛（ｎ－１）＋１｝－（１/２）ｍ（ｍ＋１） ＝（１/２）｛ｎ（ｎ－１）－ｍ（ｍ＋１）｝ これから， Ｓ＝（１/２）｛ｎ（７ｎ－１）－ｍ（７ｍ＋１）｝－（１/２）｛ｎ（ｎ－１）－ｍ（ｍ＋１）｝ ＝３｛n^2－m^2｝ なぜか常に整数値になりますね。
お礼
ありがとうございます。 出来れば、Σを使わずに教えて頂ければ...(まだ高2のはじめなので) ありがたいです、。
お礼
わかりますっ!! ほんとに、ありがとうございました。