二つの既約分数の和が整数のとき、分母は等しい ・・・なぜ？

質問

二つの既約分数の和が整数（分母は正)のとき、分母は等しい

まるでわかりません。なぜでしょうか・・・。
どなたか回答お願いします。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

＃２のご解答と同じ式から出発します。
（A/B）＋（C/D)＝ｍ　
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ、ｍ；整数　B＞０，D＞０　
両辺にBをかけます。
Ａ＋Ｃ(Ｂ／Ｄ)＝ｍＢ
Ａ，ｍＢは整数ですからＣ(Ｂ／Ｄ)も整数です。Ｃ／Ｄが既約分数でしたからＢ／Ｄが整数でなければいけません。
Ｂ＝ｎＤ
Ｂ＞０，Ｄ＞０　でしたからｎは自然数になります。
両辺にＤをかけます。
同じようにして
Ｄ＝ｎ'Ｂ（ｎは自然数）
が出てきます。
この２つの式はｎ＝ｎ'＝１の時に成立します。

回答No.5

mister_moonlight

丸投げなんで、ヒントだけ。

分母が異なる2つの既約分数（分母も分子も自然数）の和は整数にならない、事は良く知られている。
但し、3個の和の場合は整数になりえる。

2つの既約分数を　b/aとd/c　とする。但し、a＞c　としても一般性を失わない。
題意から、（b/a）＋（d/c）＝k （kは整数）とすると、b/a＝（ck-d）/（c）となるから、「既約分数が、より分母の小さい‥‥‥　？　に変形できる事を意味している」。これは、矛盾である。
従って、これはa＞cと仮定した事によるから、a＝cである。

？の部分は、自分で考えて。

お礼

みなさん回答ありがとうございました。
無事大学に合格することが出来ました。

回答No.3

ichiro-hot

＃２です。タイプミス！
訂正お願いします。

>>B＝A＋R１（０＜R1＜Aの整数）　，D=C＋R２（０＜R2＜Dの整数）
>>　∴　A＝B－R１　、C=D－R２　　　…（２）

　　　B＝A＋R１（０＜R1＜Bの整数）
　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
>>０＜R1＜Aの整数だから，DはBで割り切れる。
>>∴D＝ｋ２・B　（ただしｋ２≧１の整数）　・・・（５）

　　　０＜R1＜Bの整数だから，
　　　　　　　　　↑

　　R１はBで割り切ることはできないので
　　を補ったほうがよかったかな？

回答No.2

ichiro-hot

本当ならユークリッドの互除定理・合同式を使うのでしょうが・・・

（A/B）＋（C/D)＝ｍ　ｍ；整数　B＞０，D＞０　　…（１）
と置いて見る。

簡単にするために
　０＜（A/B）＜１，０＜（C/D)＜１
の条件をつけておきます。

B＝A＋R１（０＜R1＜Aの整数）　，D=C＋R２（０＜R2＜Dの整数）
∴　A＝B－R１　、C=D－R２　　　…（２）

（１）より　A・D＋B・C＝ｍ・B・D
これに（２）を代入し整理すると
R１・D＋R2・B＝（２－ｍ）・B・D　…（３）

（３）の両辺をDで割ると
R１＋｛（R2・B）/D｝＝（２－ｍ）・B
R1，（２－ｍ）・Bは整数だから｛（R2・B）/D｝も整数。
０＜R2＜Dの整数であるからBがDで割り切れる。
∴B＝ｋ１・D　（ただしｋ１≧１の整数）　・・・（４）

同様に（３）の両辺をBで割ると
｛（R１・D）/B｝＋R2＝（２－ｍ）・D　
R2，（２－ｍ）・Dは整数だから｛（R１・D）/B｝も整数
０＜R1＜Aの整数だから，DはBで割り切れる。
∴D＝ｋ２・B　（ただしｋ２≧１の整数）　・・・（５）

（４），（５）より
B・D＝ｋ１・ｋ２・B・D　∴K1・k2＝１
ｋ１≧１，ｋ２≧１ならばｋ１＝ｋ２＝１
よって　B＝D

拡張互除定理まで使うとかえって互いに素ということを示しにくい。
それで規約性を（２）の形で表しました。どうでしょうか？

回答No.1

owata-www

２つの既約分数をq/p , s/r（p,rは自然数　q,sは整数）とおいて背理法を使えばできるかと