極限

質問

｜X｜＜1のとき
lim（nx^n）=0
n→∞
であることを証明せよという問題とかの場合どうすれば良いかすぐ頭に浮かんでこないんですけど、どうしたらいいんですか？

回答No.5

Sabo-Hani · ベストアンサー

高校数学で一つ

x=0のとき自明
x≠0ならば
|x|<1より1/|x|>1なので
1/|x|=1+h　(h>0)とおくと
|n*x^n|={n/(1+h)^n}<{n/C[n,2]*h^2}→0

もう一つ
lim |f(n+1)|/|f(n)|=|x|<1
よりf(n)→0

回答No.4

koko_u_u

>どうしたらいいんですか？

例えば、x = 1/2 の場合にどうやって証明すればよいかを考えて、
一般の x についても同じ手法が適用できないかを考えるのが普通です。

回答No.3

arrysthmia

変な解答：
Σ[n=0→∞] x^n = 1/(1-x) は、|x|<1 で一様絶対収束するから、
この範囲で項別微分できて、Σ[n=0→∞] n x^(n-1) = 1/(1-x)^2。
よって、Σ[n=0→∞] n x^n = x/(1-x)^2。
Σ[n=0→∞] n x^n が収束するから、lim[n→∞] n x^n = 0 で
なくてはならない。(笑
… あまり参考にしないで下さい。

回答No.2

owata-www

あとロピタルの定理とかを使えるなら置き換えてやれば簡単かと

回答No.1

owata-www

対数とってみるとかダメでしょうか？