これは何が間違っているのですか？

質問

点Ｏを中心とする半径１，中心角90度の扇形がある．その半径ＯＡ，ＯＢ上にそれぞれ点Ｐ，Ｑを取り，弧ＡＢ上に点Ｒをとって，長方形ＰＯＱＲをつくる．
このときＯＰ=√3/2（3だけ√のなか）として長方形ＰＯＱＲをつくり，さらに，線分ＲＱ，ＱＢ上にそれぞれＰ'，Ｑ'をとり，弧ＡＢ上に点Ｒ'をとって，長方形Ｐ'ＱＱ'Ｒ'をつくる．このとき，四角形ＰＯＲ'Ｒと長方形ＰＯＱＲの面積が等しくなった．
Ｑ：線分Ｐ'Ｒ'の長さを求めよ
（自分の考え）
Ｒ'ＯとＲＱの交点をＳとする．
ΔＲ'ＲＳ＝ΔＳＱＯなので
ＲＳ：ＳＱ＝ＯＳ：ＳＲ'
Ｒ'Ｑ//ＲＯ（相似をつかう証明は省きましたが，あっていますか？）
∠ＱＲ'Ｑ'＝３０度
ＱＱ'＝xとするとＲ'Ｑ'＝√3x（３だけ√のなか）
∠Ｒ'Ｑ'Ｑ＝９０度なので三平方の定理を使って
(√3x)＾2+(x+1/2)＾2=1＾2
これをとくとx=(√3-2)/4になったのですがどこが間違っているのですか？

問題の答えには(√13-1)/8としか書いてなく，解説がありません．

回答No.2

ichiro-hot · ベストアンサー

●Ｒ'Ｑ//ＲＯは正しいが、『相似』は使えないと思うよ。次のところがおかしい。
>>Ｒ'ＯとＲＱの交点をＳとする．
>>ΔＲ'ＲＳ＝ΔＳＱＯなので
>>ＲＳ：ＳＱ＝ＯＳ：ＳＲ'
　すくなくとも∠ORR'＝∠OR’R（二等辺三角形）なので、∠Rということはありえない。一方、∠OQR＝∠Rで明らかに相似ではない。

　これは三角形ORR'と三角形OQRの面積が等しくなり、その三角形が底辺ORを共有しているので、『高さ』が等しくなって（『QからORに引いた垂線の長さ』と『R'からORに引いた垂線の長さ』が等しくなるから）Ｒ'Ｑ//ＲＯになると考えたほうが正しくは無いかな？
　『Ｒ'Ｑ//ＲＯ』ということは正しいので、後の計算は合ってて、ただ根と係数の関係から求めるときに計算ミスをしているようだ。ちゃんと正しい値が出てくるけれど・・・もう一度、落ち着いて計算したら？

お礼

ありがとうございます．
ΔＲ'ＱＳとΔＯＲＳは相似ではないのですか？（ＲＳ：ＳＱ＝ＯＳ：ＳＲ'と対頂角）
計算が間違っていました．見間違えていました．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

Quattro99

> ΔＲ'ＲＳ＝ΔＳＱＯなので
> ＲＳ：ＳＱ＝ＯＳ：ＳＲ'
> Ｒ'Ｑ//ＲＯ（相似をつかう証明は省きましたが，あっていますか？）
合っていますよ。引用した部分の2行目から△R'QS∽△ORSが言えて、そこから錯角が等しいことがわかり、平行だとわかるということですよね？

でも、＃2さんのようにした方が簡単です。

お礼

ありがとうございます．
確かに＃２さんのやり方のほうが証明が簡単ですね．
ΔＲ'ＱＳ∽ΔＯＲＳはあっているのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

Quattro99

計算間違いをしているだけだと思います。
(√3x)＾2+(x+1/2)＾2=1＾2をどのように解いたのか書いてみてください。

お礼

ありがとうございます．
何度も同じ計算間違いをしていました．
これからもよろしくお願いします．