a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 +

質問

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)?

2倍角の公式を使うと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 + 2c cos(θ)sin(θ)
= (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ) + c sin(2θ)
になるそうです。

2c cos(θ)sin(θ) = c sin(2θ)
の方は分かるのですが、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の方はどうやって計算していいのか分かりません。

使う公式は
cos(θ)^2 - sin(θ)^2 = cos 2θ
だと思います。
でも、aとbが邪魔ですよね？
しかも b sin(θ)^2 の符号が+です。

a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2 = (a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
の経過を教えてください。お願いします。

回答No.2

Grandmaster · ベストアンサー

えっと、
a cos(θ)^2 + b sin(θ)^2というのは
a(cosθ)^2+b(sinθ)^2ですよね？
答えがcosで表されているので、(sinθ)^2をcosで表現すると
1-(cosθ)^2です　すると

　a(cosθ)^2+b(sinθ)^2
＝a(cosθ)^2+b{1-(cosθ)^2}
整理して
＝（a-b)(cosθ)^2+ｂ
ここで、二倍角を使います
cos2θ＝2（cosθ)^2-1
ですので、
（cosθ)^2＝（cos2θ+1）/2
ですね？
すると
　（a-b)(cosθ)^2+ｂ
＝（a-b){（cos2θ+1）/2}+ｂ
展開して
＝(a+b)/2 + (a-b)/2 cos(2θ)
となります

お礼

意外と手間（？）がかかったんですね、公式を一回当てはめて終わり、と思っていたものですから…。でも、これですっきりです。三角関数で良い本を見つけたので、それを読み通してみたいと思います。ありがとうございました！

回答No.3

alice_44

チェビシェフ型の cos(2θ) = 2(cosθ)^2 - 1 には興味深い点がいろいろありますが、
加法定理に即した cos(2θ) = (cosθ)^2 - (sinθ)^2 にも捨てがたい趣があります。

(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1　　　　 …[1] と
(cosθ)^2 - (sinθ)^2 = cos(2θ)　…[2] を見比べて、
何処かから a(cosθ)^2 + b(sinθ)^2 が作れないか、考えてみましょう。

左辺ごと右辺ごとに [1]×A＋[2]×B を計算してみると、
(A+B)(cosθ)^2 + (A-B)(sinθ)^2 = A + B cos(2θ) となりますから、　　
左辺が a(cosθ)^2 + b(sinθ)^2 になるように
A+B = a, A-B = b を解いて A = (a+b)/2, B = (a-b)/2 です。

この辺りの話は、対称性の巣窟ですね。

cos(2θ) = 2(cosθ)^2 - 1 や cos(2θ) = 1 - 2(sinθ)^2 などの公式も、
これとほぼ同じ計算で導かれるのです。

お礼

一応、その計算やってみました。うまいこと出来てますね。それにしても、よくそういう計算思い付きますね。三角関数の深さを思い知りました。ありがとうございました。

回答No.1

Willyt

まず、ピタゴラスの定理sin(θ)^2 + cos(θ)^2=1 を用いて sinθを消去してください。
その後に　cos(2θ）＝2cos(θ)^2 -1 という倍角の公式を使って cosθをcos(2θ)^ で置き換え、これを整理すると答えが出て来ますよ。

お礼

ありがとうございます。
まず、ピタゴラスの定理を使うんですね。
そこは出来たんですけど、残念ながらcos(2θ）＝2cos(θ)^2 -1で躓いてしまいました。
cos(θ)^2について解いてから使ったんですね…とほほ。