ローレンツ関数の虚部はスペクトルにどう現れますか？

質問

ある光のスペクトルをローレンツ関数でフィッティングしたいと思っています．

私の考えるモデルでは（というほどおおげさなものではないですが）
受信した光の電場は E = E0exp(iwt) で振動しています．
ただし w = w-iγ で、減衰振動する光です．
これをフーリエ変換すると， E0(w-iγ)^(-1) というローレンツ関数になると思うのですが，
この実部、虚部の意味するものがよく分かりません．

一体スペクトルにどう表れるのでしょうか？
得られたスペクトルは明らかにローレンチアンなので虚部？と思ったのですが．．．

ちなみにγ以外の要因によるスペクトルの広がりはとりあえず無視するとしてください．
初歩的な質問ですいません。よろしくお願いします．

回答No.1

cyototu · ベストアンサー

貴方の質問には幾つか粗っぽい所があります。例えば光の振動数は常に正なので、フーリエ変換の領域をー∞から＋∞に取ることは出来ません。しかし、無次元化された振動数wの値が１よりも正の方向に十分大きかったら、振動数を近似的にー∞から＋∞としても、物理量の値の結果は大して変わるようには思えませんので、そのような近似も可能です。勿論そのような近似をすると光の振動数が０のところでもつ特有な特異性は無視されてしまいます。

しかしその特異性に目を瞑って無視すると、指数関数E = E0・exp[i(w_0 -iγ)t]のフーリエ変換は

１／[(w-w_0)^2 + γ^2]　　　　　　　（１）

となって、w＝w_0　の周りに幅γを持ったローレンツ関数になります。E0(w-iγ)^(-1) とはなりませんのでそれは間違いです。

そして実験では近似的にこのローレンツカーブが観測されています。しかし、上でも述べましたように、スペクトルがローレンツ関数になることは、厳密には物理学の基本法則と矛盾していますので、それはあくまで近似と言うことです。

それで、式（１）はw の値を複素平面に解析接続したときにこの関数は複素平面のw＝w_0±iγの所で１位の極を持っていると言うことを示しているのですが、質問者さんはそれの何処が解らないと言っているのでしょうか。

もしかしたら質問者さんは「虚数」という実体的な数に対して、「虚」なんて滅茶苦茶に矛盾した馬鹿げた名前を数学者が付けてしまったことが原因で悩んでいるのでしょうか。

「虚数」は数学では実数と同じレベルの実体のある実在的な数です。決して「虚」な数ではありません。例えば、白鳥を誰かが「黒鳥」と名付けたら、噴食もんですね。それと同じレベルの馬鹿馬鹿しい「虚数」と言う命名法を未だに数学者達は金科玉条の如く保持しているのです。でも、昔の未熟な人類に取っては「虚」数は本当に嘘みたいな数だったと感じたのですね。だからそんな歴史的な経緯で未だに数学者達はこの数を虚数と呼んでいるのです。

数学者にはこの命名法が意味を成さないことは今では皆解っています。それなのにそんな名前を残しているとは、数学者って途轍もなく保守的な人間達の集まりのようです。あるいは、それを解んない奴は数学をやるなって言う優越感に恍惚としている連中なんでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます．

教えていただいた内容の全ては理解できませんでしたが，これを元にもう少し勉強したいと思います．
そもそもフーリエ変換が間違っていたという点はお恥ずかしい限りです．

虚数に関する考え方に対してはとても参考になりました．
・・・がまだやはり実体のある数というには違和感が残ります．
勉強します．

目的のフィッティングに関してはおかげさまで解決しそうです．
どうもありがとうございました．