数学の証明

質問

もしｐが素数で、ｋがｐの倍数でなく、０≦ｘ≦ｐ＾（ｍ）－１であるならば、（ｋｐ＾（ｍ）－ｘ）／（ｐ＾（ｍ）－ｘ）はｐで割り切れないことを示せ。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞よって、右辺は p^mの倍数（p^(m+1)以上の次数は含まない）であることになります。
＞
＞この等式が成立するのであれば、左辺も p^mの倍数になります。

ここの右辺と左辺は、逆になります。
すみません、訂正です。

回答No.2

noname#149523

a = k*p^(m)-x / p^(m)-x とする
a-1 = p^(m)*(k-1) / p^(m)-x　　　(1)

x=0 のとき、a-1=k-1⇔a=k

0＜x≦p^(m)-1 のとき、(1)の右辺はpの倍数であることを示す(右辺が整数なら)
aとa-1がともに素数pの倍数なのはおかしい

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

困った時は背理法ですよね。＾＾

仮定は、(k* p^m- x)/(p^m- x)が pで「割り切れる」とします。

すると
(k* p^m- x)/(p^m- x)＝ Np（Nは整数）

と表すことができます。
整理すると、次のようになります。
(Np- k)* p^m＝ (Np- 1)* x

ここで、kや pに対するいろいろな条件を考えていきます。
「kが pの倍数でない」ことと pが素数であることから、
Np- kは pで割り切れない（pの倍数ではない）ことが言えます。
よって、右辺は p^mの倍数（p^(m+1)以上の次数は含まない）であることになります。

この等式が成立するのであれば、左辺も p^mの倍数になります。
ところが、「0≦ x≦ p^m- 1」なので、Np- 1は少なくとも p（pの 1乗）を因数にもたなければなりません。
Np- 1は pを因数にもつということは、pの倍数であることになるので、
・・・（ここからは少しなので、自分で完成させてください。）

もうほとんど終わりですね。＾＾；