数学の最大値

質問

私は、nとかの記号によわいです。
問題がわからなくて悩んでいます。
問題は3のn乗が300!の約数であるとき、整数nの最大値を求めるものです。
約数はわかるけど、！をつかう約数は？？？
そして、それから最大値？
数学が苦手な私ですが、よろしくお願いします。

やさしく教えてほしいです。
それから、答えはN=148 です

回答No.4

gator · ベストアンサー

あれれれ、答え出ちゃってますね。

では、No.2の補足をしましょう。

>3を１つ含む：3、6、9、・・・、300の１００個
これは実は3を1つ「以上」含むですね。300までに3の倍数はいくつあるかで、
300÷3=100です。
で、3を1つ「だけ」含むのは2つ以上含む33個を引いた67個です。

>3を２つ含む：9、18、27、・・・、297の３３個
これも同様に実は3を2つ「以上」含むですね。300までに9の倍数はいくつあるかで、
300÷9=33あまり3
で、3を2つ「だけ」含むのは3つ以上含む11個を引いた22個です。

以下同様に、
>3を３つ含む：27、54、・・・、297の１１個
300÷27=11あまり3
11-3=8個
>3を４つ含む：81、162、243の３個
300÷81=3あまり57
3-1=2個
>3を５つ含む：243の１個
>3を６つ以上含む：なし
ということで、67+22*2+8*3+2*4+1*5=148個
となります。

ちゃんと自分で考えて自分のものにしてください！

以上

回答No.3

gator

300!は、
1*2*3*.....*299*300
と全部かけたものです。

3のn乗(3^nと書きます)は3をn回かけたもの。
3のn乗が約数ということは、300!を3でどんどんわっていってn回までは
割り切れたということですね。

問題はそういう意味です。

頑張ってください!

以上

回答No.2

springside

まず、問題の意味（出題者が言っていること）を考えてみましょう。

「3のn乗が300!の約数」と言っているのですから、「3のn乗が300!を割り切る」ということですね。ということは、下記のわり算、

　(1×2×3×4×・・・×300)/(3×3×3×3・・・×3)
　［ただし、分母の3の個数はn個］

が「割り切れる」ということです。

「整数nの最大値」を求めたいのですから、「上記のわり算が割り切れるという状態を保ちながら、nをいくつまで大きくしても大丈夫か」ということを求めたいわけです。
したがって、分子「1×2×3×4×・・・×300」を素因数分解したときに、その中に3が何個登場するかを数えればいいのです。

さて、1から300までのうち、素因数として3をいくつ含むかで分類して数えます。
3を１つ含む：3、6、9、・・・、300の１００個
3を２つ含む：9、18、27、・・・、297の３３個
3を３つ含む：27、54、・・・、297の１１個
3を４つ含む：81、162、243の３個
3を５つ含む：243の１個
3を６つ以上含む：なし
なので、上記の個数を合計すると１４８になります。

回答No.1

0shiete

300!=300*299*298*....*3*2*1
です。

300!を素因数分解したときに
3がいくつ含まれるかを数えます。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=474323