数学

質問

「N を 2 以上，かつ，700 以下の整数とする。N^2－1 が 280 の倍数であるような N は何個あるか。」という問題が出されたのですが、解く方法または数学のどの分野に似たような問題があるか。答えてくれる人に大変ありがたいです。

回答No.6

mnakauye

こんにちは、No.5です。

　答えの出し方ですが、BとCは、３５０までの１違いの偶数と奇数でしたね。

　ア）エ）の場合は、３５の倍数を３５０までのうちで探すと
、
　３５０÷３５で１０通りですが、３５０のときだけ、相手は１小さいほうの３４９になり、それ以外は、前後の１違いの数です。

　　つまり３５の奇数倍ア）のとき、１０とおり、偶数倍エ）のときは、９通りになります。

　イ）のとき、３５０までの１４の倍数は、３５０÷１４＝２５ですから、１倍から２５倍までになりますね。

　そのうちのうち、１の位が４か６になるのは、倍数になるのは１の位が１か９のもの　つまり１，１１，２１，９，１９の５通りか、
　１の位が４か６のものつまり、４，６，１４，１６，２４の５とおりだけです。したがって１０とおり。

　　ウ）のとき、７にかける数は１の位が３か７になりますから、３５０÷７＝５０までの数のうち、１の位が３か７の数は
　　３，１３，２３，３３，４３　と　７，１７，２７，３７，４７ですから、１０とおり。

　以上で３９通りになります。

　ちなみに、これでBとCの組み合わせがわかりますし、ｎはB+Cですよね。　（2B=n-1,2C=n+1より）

　皆さんお答えのように、剰余系で考えるのもいいですが、

　その場合３つの集合の、和集合と積集合の個数の問題になりますので、

　こちらの初歩的な算数的な解き方のほうが簡単だと考えます。

回答No.5

mnakauye

こんにちは。

　これは倍数・約数の問題と文字式の因数分解（言い換えると文字式の約数）を組み合わせた整数の問題です。

　N^2-1＝２８０A　Aは正の整数　という関係を満たす整数を、Nが２から７００までの数で探すわけです。

　N^2-1は、容易に因数分解できますから、整数２８０も約数を考えてしまうと、

　（N-1）（N+1）=2^3X5X7XA となりますから、右辺を何通りかの2つの数の積になることの可能性を探る問題になります。

　可能性を狭めるために、左辺を考えれば、N+1とN-1は、ともに偶数か、ともに奇数ですね。

　奇数の積は奇数ですから、２８０の倍数にはなりえません。

　しかも、N-1とN+1差が２ですから、続く二つの偶数が２８０の倍数と言うことになります。

　二つの偶数と言うことから、280の約数のうち、３つの２のうち２つは、N-1　とN+1の約数になりますから、

　Ｎ－１＝２Ｂ、Ｎ＋１＝２Ｃ　とすると、ＢとＣは１違いですから、

　　一方は偶数、他方は奇数で　ＢｘＣ＝２Ｘ５Ｘ７ＸＡとなります。

　　　　B,Cの範囲を考えると、Nは、2から７００までですから、B,Cは３５０までになります。

　　この条件でで、２Ｘ５Ｘ７ＸＡを１違いのＢとＣの２つの整数の積にすれば良いのです。

　　一方が、奇数であることを考えると、その奇数が、

　　ア）５と７の倍数のとき、（奇数は３５の倍数、偶数はその1違い）

　　イ）５だけの倍数のとき、（２と７は偶数側に入る・・・偶数は１４の倍数、奇数は５の倍数で1違い）
　　　　14の倍数で5の倍数の1違いと言うことは、1の位は４か６になるので、14にかける数の1の位は、１か４か６か９

　　ウ）７だけの倍数のとき、（２と５は偶数側に入る・・・偶数は１０の倍数、奇数は７の倍数で1違い）
　　　　　この奇数は10の倍数の１違いですから　1の位が１か９になるので７にかける数は1の位が３か７になる。

　　エ）５も７も含まない、奇数、（２と５と７は偶数側に入る・・・つまり偶数は７０の倍数、奇数は1違い）

に分かれます。

　このそれぞれで1違いの偶数奇数の一方を、捜せば良いことになります。

ア）とエ）はまとめられますね。イ）ウ）には、それぞれア）の場合が含まれる可能性があるので注意

ここからは、範囲を考えて答える。

ア）１０とおり
イ）１０とおり
ウ）１０とおり
エ）９とおり

　こたえは３９通り

回答No.4

noname#199771

280=(2^3)×5×7なので、
N^2-1≡0(mod 280)の解は連立方程式

N^2-1≡0(mod 2^3)
N^2-1≡0(mod 5)
N^2-1≡0(mod 7)

の解と同じです。（理由を考えてみてください）

Nは奇数しかとらないので、N-1とN+1のどちらか
が必ず4の倍数になるためN^2-1≡0(mod 2^3)が
自動的に成り立ち、これを除外してよいです。
すると、下の2つの方程式だけ考えればよくて、

A={10の倍数}
B={14の倍数}

としたときに、
N∈{(A+1)∩(B+1)}∪{(A+1)∩(B-1)}∪{(A-1)∩(B+1)}∪{(A-1)∩(B-1)}
（ただし2≦N≦700）
となり、{}の中身同士は共通部分を持ちません。
したがってそれぞれの{}の中身の個数を勘定して
和を取ればよいです。

{(A+1)∩(B+1)}
・・・70x+1と表される数

{(A+1)∩(B-1)}
・・・5x+1=7yとなるx,yを用いて10x+1と表される数

{(A-1)∩(B+1)}
・・・5x=7y+1となるx,yを用いて10x-1と表される数

{(A-1)∩(B-1)}
・・・70x-1と表される数

それぞれ何個になるかは書かないので自分で計算
してみてください。

回答No.3

B-juggler

虚数で行きますか。なるほど。それもあるね！

代数の剰余類をぱっと見ました。

　Ｎｏ．１のＡｌｉｃｅ先生と一緒。

２８０＝４０×７＝５×８×７　＝（（２＾３）×５×７）　最後はあまり関係ないけれど。

なので、５でも８でも７でも割り切れれば、その数は２８０で割り切れる。

つまり、２８０の倍数です。

あとは探していくのかな？

Ｎ＾２　－１　≧２８０　が絶対条件ですから、

　＃十分条件かな

Ｎ＾２≧２８１　Ｎ≧√（２８０）　＝１６．７・・・

Ｎ≧１７　はでますね。

ふるいにかけたいけれど、結構大変かな？

Ｎ＾２－１＝（Ｎ＋１）（Ｎ－１）　こうやったほうが早いかな？

これと足してしまいますか？　ごめんいい所取りだ＞＜

（Ｎ＋１）（Ｎ－１）　ｍｏｄ　５∧８∧７＝０　となるＮを探す。

こうなるのかな？

後パターンわけして、

（Ｎ＋１）　ｍｏｄ　２８０＝０　または　（Ｎ－１）　ｍｏｄ　２８０＝０

（Ｎ＋１）　ｍｏｄ　５＝０　∧　（Ｎ－１）　ｍｏｄ　３５　＝０
　＃これは存在しないね。

（Ｎ＋１）　ｍｏｄ　３５　＝０　∧　（Ｎ－１）　ｍｏｄ　５　＝０
　＃これもおなじくないね。

　Ｎに＋１　したものが５の倍数なら、Ｎ－１は５の倍数ではありえない。

次（Ｎ＋１）　ｍｏｄ　７＝０　∧　（Ｎ－１）　ｍｏｄ　４０　＝０

これはありうるね。　±１を入れ替えて　やはり存在する。

最後　８について　∧　３５　について　探していくということかな？

虚数使って、数論で言ったほうが早いかな？？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.2

spring135

2≦n≦700のとき

(n-1)(n+1)=280m　　　(1)

を満たす整数n,mを見つける。m≧1とする。

(1)より

n-1 または　n+1が10の倍数になるケースをまず検討する。

1）n-1=10i

n+1=10i+2

(1)に代入して

　　10i(10i+2)=280m

i(5i+1)=14m

この解は

a)i=2,5i+1=7m
b)i=7,5i+1=2m
c)i=14,5i+1=m
d)i=14m,5i+1=1

解があるのは
b)i=7,m=18,n=71
c)i=14,m=71,n=141

いか、このような分類をきっちりやっていけばよい。

答え39個

回答No.1

alice_44

N を 4, 5, 7 で割った余りは、各々いくつ？