３を３つ使ってできる最大の整数は？

質問

こんにちは。
「３を３つ使ってできる最大の整数は？」という問題を出されました。ただし条件があるそうです。

（１）四則演算（＋－×÷）とカッコはいくつ使ってもよい。
（２）３以外の数字は使ってはいけない。
（３）３はひと桁の整数として使用する。（３３や３３３はだめ）
（４）高校数学までで習う数学記号は上記以外に３つまで使用してよい。
（５）できた数は、有限の整数に限る。（無限大になる式などはだめ）

私の解は、

3^(3×(3!)!)

ですが、もっと大きな数が作れるでしょうか？

回答No.3

arukamun · ベストアンサー

こんばんは

3^(3×(3!)!)
＝3^(3×6!)
＝3^(3×720)
＝3^2160
≒3.81e1030

かなり大きいですね。

3!!!＝6!!＝720!≒2.60e1746
ですので、これだけでも上記より大きいようです。
(3×3×3)!!!＝27!!!＝

Windowsに付属の電卓がエラーになるほど大きいようです。計算して見てください。
もっと大きそうなのがあったら再投稿します。

お礼

こんばんは。
あら、まぁ、単純な階乗のほうが累乗より大きかったなんて、気がつきませんでした。てっきり累乗の方が大きいと思いこんでいました。

ところで、No.2の方の回答とも比較してみなくっちゃ、、。わぁ、大変な計算だわ。

ご回答をありがとうございました。

回答No.9

zetafunction

π, e等は定数みたいなもので, 数学記号の仲間には入らないように思うのですが…。

どうなんでしょう？

お礼

あはは、やっぱりダメですか？何か大きな数があれば、くっつけたらいいかなと思ったんですけど、どのみちｅやπでは無理のようでした。

数学記号というと他に、∫やlimやΣと三角関数くらいしか思い浮かびませんが、爆発的に大きくするのは、！にはかなわないようですね。

ありがとうございました。

回答No.8

eatern27

A=3^[{(3×3)!}!]
B=[{(3×3×3)!}!]!
とおきます。

Aは3を{(3×3)!}!個かけたもの

Bは1～{(3×3×3)!}!まで合計{(3×3×3)!}!個かけたもの。

どう考えても{(3×3)!}!＜{(3×3×3)!}!なので、
かけた個数はBの圧勝。

AとBの中身を見てみると、
A=3×3×3×3×3×3×・・・×3
B=1×2×3×4×5×6×・・・×{(3×3×3)!}!

Aが大きいのはは最初の2項だけ。これまたBの圧勝。

よって、
3^[{(3×3)!}!]＜[{(3×3×3)!}!]!

#7さんは3^[{3×(3!)}!] と勘違いしたのだと思います。これなら、ｘ＝18!とすれば、
3^[{3×(3!)}!]＝3^xになりますので。

お礼

とても分かりやすい解説をありがとうございました。
私でも容易に理解できました。単純なことだったのですね。

余談ですが、eatern27さまは、小カッコ、中カッコ、大カッコときちんと分けて記載しておられるんですね。大カッコで思い出しましたが、大カッコをガウス記号とみなせば、無理数でも使えるんじゃないかなと思いましたが、

［（３×３）！／（πー３）］！

などとやってみても、[{(3×3×3)!}!]! の足元にも及びませんでした。

ご回答をありがとうございました。

回答No.7

yuusukekyouju

(((3×3×3)!)!)! と3^((3×3)!)!の大小ですが、
(((3×3×3)!)!)! ＞3^((3×3)!)!
となり、おそらく(((3×3×3)!)!)!が一番大きな数でしょう。それを証明します。
27！！！＞18！！！は明らかです。ここで18！＝ｘとおいてみます。すると27！！！＞ｘ！！＞3^ｘがしめされれば(((3×3×3)!)!)! ＞3^((3×3)!)!が成り立つので
ｘ！！＞3^ｘを証明しにいきます。
3^ｘというのは3がｘ個あるという意味です。
一方ｘ！はｘ！×(ｘ！－1)・・・3×2×1という具合に1からｘまでｘ個の数字をかけ合わせたもので、3^ｘとｘ！には数字が同じｘ個掛けられているという共通点があります。そこでその内容を見てみるとさきほど言ったように3^ｘは3がｘ個。ｘ！には3より小さい数字が2と1しかありません。当然ｘ！＜ｘ！！であり
(((3×3×3)!)!)! ＞3^((3×3)!)!となるわけです。
わかりにくくてごめんなさい。

お礼

(((3×3×3)!)!)! と3^((3×3)!)!の大小の比較について証明をしていただき、ありがとうございます。

【ここで18！＝ｘとおいてみます。すると27！！！＞ｘ！！＞3^ｘ
がしめされれば(((3×3×3)!)!)! ＞3^((3×3)!)!が成り立つので 】

というところが今一つ理解できなかったのですが、

3^ｘ＞3^((3×3)!)!　ならば、この推論は正しいと思いますが、
3^((3×3)!)!＞3^ｘ　のような気がします？？？

あとでゆっくり考えてみたいと思います。
ご回答をありがとうございました。

回答No.6

zetafunction

しょうもないことを突っ込ませて頂きますが,

odd:n!!=n(n-2)(n-4)…4・2
even:n!!=n(n-2)(n-4)…3・1

という意味になってしまいます。

ですので, (((3×3×3)!)!)! と記入した方が良いと思います。

駄文申し訳ございません。

お礼

!! にそんな意味があったとは知りませんでした。二重階乗と呼ぶんですね。勉強になりました。

「駄文申し訳ございません」なんて、そんなことはございません。ご指摘ありがとうございました。知らなかったら、またどこかで恥をかいたかもしれませんので、お教えいただいて感謝しております。

ありがとうございました。

回答No.5

anpankudasai

すいません
＃２．＃４ です
NO.4 は取り消して置いて下さい。自分の回答に対して言ったつもりだったのですが、投稿したさいに#3さんの投稿を挟んでしまいました。NO.4は＃３の回答に対しての意見ではないので＾＾；
改めて見てみると#3さんのほうが大きいですね

お礼

あー、そうなんですか。どうやって計算しようかと思っていましたが、anpankudasaiさまの言葉を信じて(^^;)、27!!!が、目下のところ最大ということで理解したいと思います。

何度もお手を煩わせてすみませんでした。ありがとうございます。

回答No.4

anpankudasai

すいません、さらにですが前の解より

3^((3×3)!)!
こちらのほうが大きいですね。

お礼

えーっ、お礼を書いている間にまた大きな数が！！！

これはもう、計算不能ですが、「２７！！！」と、どちらが大きいのでしょう？私の能力を越えています。どなたか教えてくださーい。

再度のご回答をありがとうございました。

回答No.2

anpankudasai

最大かどうかはわかりませんが、uminezumiさんの解よりはとりあえずこっちのほうが大きいのではないかと思います。
3^(3×3!)!

お礼

あ、なるほど、気がつきませんでした。
そうですね。こちらのほうが、遥かに大きいですね。

すばらしい回答をありがとうございました。

回答No.1

zetafunction

階乗と, 累乗と, 括弧を多用すれば, 有限の範囲で大きな数字は沢山出来るのでは無いでしょうか？
階乗記号もどれだけ使ってもよろしいのですか？

お礼

^ （べき）も !（階乗）も四則演算ではなく、数学記号とみなされるので、３つまでという条件にかかります。というわけで、いくらでもというわけにはまいりません。

さっそくの回答をありがとうございました。