面積について

質問

高校生のものです。
-π≦θ≦πの範囲で、x=(1-sinθ)cosθ、y=(1-sinθ)sinθによって囲まれる面積を求めよという問題がありました。
僕の答えは5-π/2となったんですが、あってるでしょうか？

回答No.3

info22

質問者さんの答は間違っています。

計算すると
S=∬_[D] rdrdθ,D={(r,θ)|0≦r≦1-sinθ,-π≦θ≦π}
=2∬_[D1] rdrdθ,D1={(r,θ)|0≦r≦1-sinθ,-π/2≦θ≦π/2}
=2∫[-π/2,π/2] {∫{∫[0,1-sinθ] rdr} dθ
=2∫[-π/2,π/2] { [(1/2)r^2] [0,1-sinθ] } dθ
=2∫[-π/2,π/2] (1/2)[1+(1/2){1-cos(2θ)}] dθ
=∫[-π/2,π/2] [1+(1/2){1-cos(2θ)}] dθ
=∫[-π/2,π/2] (3/2)dθ
=3π/2
です。

#1,#2の方の
A#2の方の答と一致します。

お礼

親切にどうもありがとうございました。

回答No.2

ichiro-hot

やっぱりミスってる。（３/２）πのようだ。
ｘ＾2＋y＾2＝｛(1-sinθ）・cosθ｝＾2＋｛(1-sinθ）・sinθ｝＾2
＝(1-sinθ）＾2
＝１-2sinθ+（sinθ）＾2
＝1-2sinθ+(1/2){1-cos2θ}
=3/2-2sinθ-(1/2)cos2θ

S＝(1/2）∫[－π→π]R＾2・ｄθ
＝(1/2）∫[－π→π]｛ｘ＾2＋y＾2}・ｄθ
＝(1/2）∫[－π→π]｛3/2-2sinθ-(1/2)cos2θ}・ｄθ
=(3/2)π

ただし、
∫[－π→π]｛sinθ}・ｄθ=　0
∫[－π→π]｛cos2θ}・ｄθ=　0
だったよね？（＃１は分数計算のミスだった！！）
誰か検算してくれるといいな。

お礼

ありがとうございました。
自分の計算ミスでした。

回答No.1

ichiro-hot

積分やってみたら「π」になったけど？
久しぶりだから、こっちの計算ミスかな？
S＝(1/2）∫[－π→π]R＾2・ｄθ使ったよね？