切断面の面積

質問

以前、
(1)底辺の一辺が８cmの正三角柱がある。この三角柱を、底面に対して４５度の角度で切断したとき、最大の切断面の面積はいくらか。

答えは【１６√６】だそうです。

という質問がありましたが、私も算定しようとしましたが、できませんでした。直感的には断面積は１６√６から３２√３の間で１６√６は最小値のような気がします。
私は、三点、(8sinθ,8cosθ,z1)、{8sin(θ+2/3π),8cos(θ+2/3π),z2}、{8sin(θ-2/3π),8cos(θ-2/3π),z3}、がx+y+√2z=0に乗るとしてz1,2,3を求めて、内積から面積を求めようとして挫折しました。
どのように求めるのでしょうか？

回答No.4

corp · ベストアンサー

#1で回答した者です。補足です。

問題に最大値は？とありますが、
切断する平面が三角柱の底面や上面を含まない場合が最大です。
含む場合は、底面三角形（面積16√3）よりも小さい図形を射影することになるので、底面三角形が全て射影されるときが最大となります。
よって、底面を含まない（底面と上面を含まない）ときは、正三角柱と切断する平面がどのような位置であっても、面積は√2倍だけ大きくなると言う事です。

お礼

最大値の意味を勘違いしておりました。加えて、√2倍の図を描く時に作図ミスをしていました。

回答No.6

Quattro99

自信ありませんし、途中までしかわからず、これで出来るかどうかもわかりませんが。

原点、（x1,y1）、（x2,y2）の3点で出来る三角形の面積って、
1/2*|x1y2-x2y1|
じゃないでしょうか？ ここからして間違っているかも知れませんが。

正三角柱の一つの角を原点、辺をx軸に合わせた状態から原点を中心に回転（θ）させていったときの原点以外の2点はθで表すことが出来ると思います。
その2点がxy平面をx軸を軸としてyが正の方が高くなるように45°回転させた平面に投影されたときのその斜めの平面上での座標もθで表すことが出来ると思います。

そこで、最初の三角形の面積の式に代入して計算できないでしょうか？

お礼

ありがとうございました。間違いがわかりました。

回答No.5

hidecho

そんなに難しく考えずに・・・
ここでいう「最大の断面積」というのは、
「底面の一部分を切断するような断面ではない」って言うことを言いたいのではないでしょうか？

正三角形の高さ…60゜の三角形の辺の長さの比1：2：√3　と
断面の三角形の高さ…45゜の三角形の辺の長さの比1：1：√2　で
結構単純に求めちゃいました♪

お礼

その通りですね。間違いのポイントがわかりました。

回答No.2

yasu1953

切断したときの形を想像して下さい
切断面は三角形になるのが想像できると思います
三角形の面積は高さが同じならば底辺の
長さが長いほど面積が大きくなります
底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。
問題の場合底辺が８cmの時に面積が最大となります
このときの三角形の高さは８＊ｓｉｎ６０°/ｓｉｎ４５°＝４√６
三角形の面積は４√６＊８/２＝１６√６となります
変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな？？

回答No.3

yasu1953

切断したときの形を想像して下さい
切断面は三角形になるのが想像できると思います
三角形の面積は高さが同じならば底辺の
長さが長いほど面積が大きくなります
底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。
問題の場合底辺が８cmの時に面積が最大となります
このときの三角形の高さは８＊ｓｉｎ６０°/ｓｉｎ４５°＝４√６
三角形の面積は４√６＊８/２＝１６√６となります
変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな？？

お礼

ありがとうございます。疑問が解けました。

回答No.1

corp

こんにちは。

言葉で説明するのはちょっと難しいんですが、
正三角柱を底面に対して0度で切断した図形と
正三角柱を底面に対して45度で切断した図形との関係は、一方向にルート２倍だけ引き伸ばされる正射影と同じになります。
底面三角形の面積は16√3ですから、
射影した図形は1次元分の√2倍だけ大きくなり　16√6
という説明はだめですか？

お礼

切断面が一つの底辺と平行なら、その通りですが。
あれ、どの方向で切っても一方向しか伸びないのだから、どう切っても16√6ですね。私の勘違いでした。