簡単な微分でのつまづき・・

質問

微分についての質問です。簡単なはずなんですがどうしても答えが合いません。
1/A*d/dx*(-1/A*d/dx+Ax)は、-1/A^2*d^2/dx^2+1/A*(Ax*d/dx+A)で正しいですか？
どうしても最後の+Aがいらないような気がします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

＞ やはりf(x)がどうみてもないようなので迷宮入りしそうです・・

f(x) が無いから、迷宮入りするのです。無ければ、補って考える。

＞ d/dx+Ax て何でしょう？

って、最初に確認しましたね。
これが df/dx+Ax じゃなく d/dx+Ax であることがポイント。
この + は、関数の + や、関数の値の + ではなく、微分演算子どうしの
＋ です。d/dx が関数を導関数へ写像する演算子であるのと同様に、
この式の Ax は、関数を、それに Ax を掛けた別の関数へ写像する演算子
を表しています。だから d/dx と + できるのです。ただの一次関数では
ないんですよ。演算子の意味は、式の右に C^∞ 級の関数を補って
考えれば、ハッキリします。

お礼

な・・・・・・なるほど・・・・・・！！
ものすごくよくわかりました。
演算子の意味を全くわかってなかったです。この考え方ちゃんと使えるようにしたいです！ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

＞ 合成関数ではない、とは思うのですが・・

式のほうを見てくれれば、分かると思いますが、
「質問の式の最後の部分は、積の微分公式です。」
と書くつもりでした。
最初に書き違えたのを、編集し損なった…という
オソマツです。

問題の +A が、積の微分公式
(Axf) ' = (Ax)(f ') + (Ax ')f
の +Ax ' から生じた +A だという点は、
No.2 に書いたとおりです。

お礼

微分公式のこと了解です。やはりf(x)がどうみてもないようなので迷宮入りしそうです・・
ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

d/dx+Ax て何でしょう？
学年等、貴方の背景が不明です。大学生なら、
(d/dx+Ax) f(x) = (d/dx) f(x) + Ax f(x)
という意味かもしれません。それでよければ、
質問の式の最後の部分は、合成関数の積の微分公式です。
(1/A)(d/dx){ (-1/A)(d/dx) + Ax) } f(x)
= (-1/A^2)(d/dx)^2 f(x) + (-1/A)(d/dx) Ax f(x)
第二項を、積の微分公式で展開すれば、
(d/dx) Ax f(x) = A f(x) + Ax (d/dx) f(x)
となります。この右辺の A f(x) に相当する部分が、
御質問の +A です。

補足

もとはエルミート共役な演算子の掛け算です。
｛(1/A)(d/dx)+Ax｝｛(-1/A)(d/dx)+Ax｝
=(1/A)(d/dx)｛(-1/A)(d/dx)+Ax｝+Ax｛(-1/A)(d/dx)+Ax｝
=(-1/A^2)(d^2/dx^2)+(1/A)｛Ax(d/dx)+A｝+｛-x(d/dx)+A^2x^2｝

この最後の式の二項目が問題の+Aであります。
合成関数ではない、とは思うのですが・・

表記が曖昧ですみませんでした；

回答No.1

phyonco

何でやねん
d/dx(Ax) = A + Ax d/dx
でオk

お礼

わたしもおｋだと思うので誤植であってほしいですね・・・
ありがとうございました。