実際の非反転増幅器の入力インピーダンスの導出過程を教えてください

質問

今まで理想opアンプを勉強してきたので入力インピーダンス＝無限で考えてきたのですが、実際のopアンプを使用した非反転増幅器の入力インピーダンスはどうやって導出すれば良いのでしょうか？
資料には、

非反転増幅回路の入力インピーダンス＝Zin*(1+R1*Av/(R1+R2))
Zin:opアンプの入力インピーダンス
Av:opアンプの電圧利得
R1:入力抵抗
R2:フィードバック抵抗

とだけ書いてあり、導出過程は省略されています。
分かる方がいましたら教えていただけませんか？

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

正しい答えは
　　　入力インピーダンス = R1//R2 + Zin*{ 1 + R1*Av/( R1 + R2 ) } --- (a)
になります。R1//R2 というのは、R1 と R2 の合成並列抵抗で R1*R2/( R1 + R2 ) の意味です。anachrockt さんのコメントの通り、「正確にはR1とR2の並列抵抗分が足され」ます。しかし、普通は
　　　R1//R2 << Zin*{ 1 + R1*Av/( R1 + R2 ) }
なので、isthisapenさんの式
　　　入力インピーダンス ≒ Zin*{ 1 + R1*Av/( R1 + R2 ) }
で近似できます。式(a)の計算方法は以下の通りです。

下図のように、反転入力端子（－）と非反転入力端子（＋）間の入力インピーダンス（差動インピーダンス）を Zin とします。

　　i1 →　　┃　　＼
Vin ───╂┐(+)　＼
　　　　　　　┃Zin　　　 　>─┬─ Vout
　　V1 →┌╂┘(－)　／　　 │
　　　i1↓│┃　　　 ／　　　　│
　　　　　 ├─── R2 ──-┘
　　　　　 │　　　　← i2
　　　　　R1
　　　　　 │ ↓ i1 + i2
GND ─-┴──────────

非反転入力端子（＋）の電圧を Vin、反転入力端子（－）の電圧を V1、出力電圧を Vout とし、電流を上図のように定めると、各素子に流れる電流は
　　　Zinに流れる電流　　　i1 = ( Vin - V1 )/Zin --- (1)
　　　R2に流れる電流　　　i2 = ( Vout - V1 )/R2 --- (2)
　　　R1に流れる電流　　　i1 + i2 = V1/R1 --- (3)
一方、オペアンプの出力は、入力端子間の電圧を Av 倍したものなので
　　　出力電圧　　　　　　　Vout = Av*( Vin - V1 ) --- (4)
となります。式(1)～(4)を i1 について解くと（手計算は結構大変です）、
　　　i1 = ( R1 + R2 )*Vin/[ R1*R2 + Zin*{ ( 1 + Av )*R1 + R2 } ]
したがって、Vin からオペアンプ内部を見たときのインピーダンスは
　　　入力インピーダンス = Vin/i1
　　　　　　　　　　　　　　　= [ R1*R2 + Zin*{ ( 1 + Av )*R1 + R2 } ]/( R1 + R2 )
　　　　　　　　　　　　　　　= R1*R2/( R1 + R2 ) + Zin*{ 1 + R1*Av/( R1 + R2 ) }
　　　　　　　　　　　　　　　= R1//R2 + Zin*{ 1 + R1*Av/( R1 + R2 ) } --- (a)
となります。

お礼

アドバイスありがとうございます。
確かに手計算大変でした（笑）
実際に計算してみたことで近似前と近似後の関係もよく理解することができました。

回答No.1

anachrockt

負帰還によってアンプの特性がどうなるかは，式を立てて解いてけばエエだけの話です．
昔の電子回路の教科書には載ってたんですが，今の教科書には負帰還アンプのことは載ってませんか？
解き方は，Zinを入れた回路を書いて，入力電圧を与えて入力電流を求め，計算するだけです．

たいした式ではありませんが，この本のp.60に載ってました．
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4789837483/cqpub03-22/ref=nosim
本によると，正確にはR1とR2の並列抵抗分が足されるようです．

お礼

実際に式を立てて解くことで入力インピーダンスを求める事ができました。
ありがとうございます。