三角形の面積

質問

３点（1,1,0）、（－1,0,2）、（2,3,－1）を頂点とする三角形の面積を求めなさい。計算の手順も示してください。
という問題なんですが、これはベクトルの内積を用いて解けばいいのでしょうか？解き方がまったくわからないのでできれば解説付きでお願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

内積を使った解法を示しておきます。
高校生には標準的なものと思います。

３点の名前を
A (1,1,0),
B (-1,0,2),
C (2,3,-1）とします。
∠ABC = θ と置くと…

内積 ↑AB・↑AC = (-2,-1,2)・(1,2,-1) = -6
= |↑AB|・|↑AC|・cosθ = 3・√6・cosθ.
より、cosθ = -(√6)/3.

△ABC = (辺AB)・{点Cの辺ABからの高さ}÷2
= |↑AB|・{ |↑AC|・sinθ }÷2
= 3・√6・√(1 - 6/9)÷2 = (3√2)/2.

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回答No.5

info22

#3です。
A#3で
前後関係から
> =√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 (ヘロンの公式)
のa,b,cは辺の長さですのでここでは公式では絶対値になります。
S=√{s(s-|a|)(s-|b|)(s-|c|)},s=(|a|+|b|+|c|)/2 (ヘロンの公式)

どの面積Sの式を使っても
S=3/√2=(3√2)/2
となりますので、質問者さんも回答者の解答を鵜呑みせず、必ず自分でも
色々なやり方で計算していずれの方法も、正しい結果が出てくることを確認してください。それにより質問者さんの実力アップに役立つと思います。

お礼

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回答No.3

info22

>これはベクトルの内積を用いて解けばいいのでしょうか？
内積でなく外積です。
S=|a||b|(sinθ)/2=|(a×b)|/2
=√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 (ヘロンの公式)

a=(1,1,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2),|a|=3
b=(2,3,-1)-(-1,0,2)=(3,3,-3),|b|=3√3
c=(2,3,-1)-(1,1,0)=(1,2,-1),|c|=√6
cosθ=(9+27-6)/(2*9√3)=5/(3√3)
sinθ=(√6)/9
これらを上の公式に代入すれば解けますね。

お礼

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回答No.2

arrysthmia

(1) 三平方の定理を使って三辺を求め、ヘロンの公式を使う。
(2) 内積または余弦定理を使って内角を求め、底辺×高さ÷２に持ち込む。
(3) 外積の長さを求める。
etc.

お礼

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回答No.1

owata-www

ベクトルを使っても出来ますし、原点と２点(x1 ,y1)(x2 ,y2)で囲まれる面積が
1/2*|x1y2-x2y1|　（証明は幾通りかあるがベクトルがやはり簡単かもしれない）
で出せることを用いても出来るでしょう

お礼

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