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定積分の解を教えてください
関数f ( x )が 0≦ x ≦L/4のとき f ( x )= 4Ax/L L/4≦ x ≦L/2のとき f ( x )= -4Ax/L+2A L/2≦ x ≦L のとき f ( x )= 0 であるとして、この関数f ( x )を“ 0 から L まで定積分したときの解”を教えていただきたいです。 不躾な質問ではありますが、どうかよろしくお願い致します。
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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
お待ちしておりました。 たぶん、部分積分を使うのだと思います。 ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ Ｕ’＝ sin（Ｐｘ） Ｖ ＝ ｆ（ｘ） と置けば、 Ｕ ＝ －cos（Ｐｘ）／Ｐ Ｖ’＝ ｆ’（ｘ） ＝ ａ ∫sin（Ｐｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ∫Ｕ’Ｖ ｄｘ ＝ ＵＶ － ∫ＵＶ’ｄｘ ＝ －cos（Ｐｘ）／Ｐ・（ａｘ＋ｂ） － ∫（－cos（Ｐｘ）／Ｐ）・ａ ｄｘ ＝ －（ａｘ＋ｂ）／Ｐ・cos（Ｐｘ） ＋ ａ／Ｐ・∫cos（Ｐｘ）ｄｘ ＝ －（ａｘ＋ｂ）／Ｐ・cos（Ｐｘ） ＋ ａ／Ｐ・sin（Ｐｘ）／Ｐ ＋ Ｃ ＝ －（ａｘ＋ｂ）／Ｐ・cos（Ｐｘ） ＋ ａ／Ｐ^2・sin（Ｐｘ） ＋ Ｃ ------------------------------------------------ f ( x ) = 4d x/ L ( 0 ≦ x ≦ L/4 ) これは、ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ において ａ＝４ｄ／Ｌ、ｂ＝０ なので、 与式 ＝ ∫sin（Ｐｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ －（（４ｄ／Ｌ）ｘ＋０）／Ｐ・cos（Ｐｘ） ＋ （４ｄ／Ｌ）／Ｐ^2・sin（Ｐｘ） ＋ Ｃ ＝ －４ｄｘ／（ＬＰ）・cos（Ｐｘ） ＋ ４ｄ／（ＬＰ^2）・sin（Ｐｘ） ＋ Ｃ ｘ＝Ｌ／４ のとき 与式 ＝ －４ｄ（Ｌ／４）／（ＬＰ）・cos（ＰＬ／４） ＋ ４ｄ／（ＬＰ^2）・sin（ＰＬ／４） ＋ Ｃ ＝ －ｄ／Ｐ・cos（ＰＬ／４） ＋ ４ｄ／（ＬＰ^2）・sin（ＰＬ／４） ＋ Ｃ ＝ －ｄ／Ｐ・cos（ＰＬ／４） ＋ ４ｄ／（ＬＰ^2）・sin（ＰＬ／４） ＋ Ｃ ＝ －ｄ／（ｎπ／Ｌ）・cos（ｎπ／Ｌ・Ｌ／４） ＋ ４ｄ／（Ｌ（ｎπ／Ｌ）^2）・sin（ｎπ／Ｌ・ＰＬ／４） ＋ Ｃ ＝ －ｄ／（ｎπ／Ｌ）・cos（ｎπ／４） ＋ ４ｄ／（Ｌ（ｎπ）^2）・sin（ｎπ／４） ＋ Ｃ ｘ＝０ のとき 与式 ＝ ０ ＋ ０ ＋ Ｃ ＝ Ｃ 差し引き ＝ 定積分 ＝ －ｄ／（ｎπ／Ｌ）・cos（ｎπ／４） ＋ ４ｄ／（Ｌ（ｎπ）^2）・sin（ｎπ／４） と出ました。 ちなみに、具体的なｎの値を入れると、 ｎ＝１ のときは、 －ｄ／（π／Ｌ）・cos（π／４） ＋ ４ｄ／（Ｌ（ｎπ）^2）・sin（π／４） ＝ －ｄ／（π／Ｌ）／√２ ＋ ４ｄ／（Ｌ（ｎπ）^2）／√２ ｎ＝２ のときは、 －ｄ／（２π／Ｌ）・cos（π／２） ＋ ４ｄ／（Ｌ（２π）^2）・sin（π／２） ＝ －ｄ／（２π／Ｌ）・０ ＋ ４ｄ／（Ｌ（２π）^2）・１ ＝ ４ｄ／（Ｌ（２π）^2） ・・・・・ ＞＞＞ 私が途中まで導いた解は、 0 ≦ x ≦ L/4 において -d L^2/ 8nπ*cos( nπ/4 ) 全然合わないですね。 私、計算が不得意（本当です）なので、検算してみてください。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
＃１の回答者ですが、 回答投稿した後に気づいたのですが、丸投げ質問なので回答できないのでした。 間違っていても良いので、ご自分でやったことを補足欄に書いてください。
補足
丸投げの形で質問してしまい、申し訳ありませんでした。 部分積分？というものがわからず、苦労しています。 とりあえず、途中まで頑張って計算してみました。 どうか、添削してください。 数式 L ∫sin( Pn x ) f ( x ) dx 0 Pn = nπ/L f ( x ) = 4d x/ L ( 0 ≦ x ≦ L/4 ) f ( x ) = -4d x/ L + 2d ( L/4 ≦ x ≦ L/2 ) f ( x ) = 0 ( L/2 ≦ x ≦ L ) 私が途中まで導いた解は、 0 ≦ x ≦ L/4 において -d L^2/ 8nπ*cos( nπ/4 ) と L/4≦ x ≦ L/2 において -2d/nπ*( L - L^2/4 )*cos( nπ/2 ) + 2d/nπ*( L - L^2/16 )*cos ( nπ/4 ) です。ここまでは合っていますでしょうか。 この後は、和積の公式を使えばすっきりするのでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
＃１さんではありませんが… ＞ L ∫sin( Pn*x )* f ( x ) dx 0 ただし Pn= nπ/L の f ( x ) 部分に上記の式を代入する時でも、同様の計算で合っていますか？ 合ってます。 解はどうなる…それはご自分でお解きください（丸投げはここでは禁止なので）
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 ・０からＬ／４までの定積分を求めて、 ・Ｌ／４からＬ／２までの定積分を求めて、 ・Ｌ／２からＬまでの定積分を求めて、 この３つを足し算するだけです。 ご参考に。
補足
素早いご回答、本当にありがとうございます。 追加で質問なのですが、 L ∫sin( Pn*x )* f ( x ) dx 0 ただし Pn= nπ/L の f ( x ) 部分に上記の式を代入する時でも、同様の計算で合っていますか？ その場合は、解はどうなるのでしょうか？ まとめて質問しようとしていましたが、文章作成中に間違えて送信してしまいました。 申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします
お礼
できました！解も、教えていただいたものと一致しました！ 本当にありがとうございます。部分積分の使い方も、よくわかりました。 同じように、残りの範囲も解いてみます！！ また、質問に来ると思いますので、よろしくお願いいたします笑