確率（ルベーグ）
またも問題の意味が分かりません。
頭のめぐりは悪くて恐縮ですが、お願いします。
( (0,1), (0,1)∧β1, P)をルベーグ空間とする。（β1はおそらく一次元ボレル集合体）
∀ω∈(0,1)に対して、ωの2進法展開を考える。すなわち、
ω＝Σ[n=1, ∞] ωn / 2^n (ωn = 0 or 1)
ルール：展開が一意的でないときは1が無限回でる表現を採用する。
∀n ∈ N に対して、確率変数Xn：( 0,1) → {0,1} を
Xn(W) = ωn (W=Σ[n=1, ∞] ωn / 2^n)
(1)∀n∈N {W∈(0,1): Xn(W)=0} = (0, 1 / 2^n)∨(2 / 2^n)∨・・・∨（1- 2/ 2^n,1- 1/ 2^n） となることの証明
(2) P(Xn=0)=P(Xn=1)=1/2 となることの証明
(3)∀n∈N に対してX1,X2,・・・,Xn は独立であることの証明
(4)E(Xn),V(Xn)を求めよ
(5) X:(0,1) → R をX(W)=Σ[n=1,∞] Xn(W) /2^n (W∈(0,1)) と定義した時
P(X^-1 (a)) (a∈R) を計算せよ
という問題で、ωnが分からないとωが出ないし、ωが分からないとωnが出ないので出しようがない気がするのですが、問題なく解けるのでしょうか？ 特に(2)のように1/2のような確率が出る保障があると思えないのですが・・・
補足
やはり証明必要ですよね。 ありがとうございました。