Σの中の組み合わせ

質問

Σがk=1からnまでのとき
Σ(nCk)*2^(k-1)=(3^n-1)/2となることの説明をお願いします。

回答No.1

pascal3141

そちらの考えを少しでも書かないと、たぶん削除されると思いますが
このような式では２項定理を使います。
f(x)=(1+x)^n=nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n
f(2)=1+nC1×2+nC2×2^2+…nCn2^n
(f(2)-1)/2=nC1+nC2×2+nC3×2^2+…+nCn×2^(n-1)
=Σ(nCk)*2^(k-1)
よって左辺(f(2)-1)/2を計算する。
(f(2)-1)/2=(3^n-1)/2

補足

ありがとうございます。２項定理で=Σ(nCk)*2^(k-1)は分かるのですが、それが(3^n-1)/2になるのが分からないです。初項が1で末項が
3^(n-1)、公比が3の等比級数と同じ式なのは分かるのですが、どうすればこのようになるのでしょうか？