Φ(1/2)は何になりますか？

質問

数学を独学しているものです。
参考書を読んで指数・対数関数の紹介に、このような記述があったので質問させて頂きました。
数学に強い方、よろしければご教授下さい。
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指数関数を定義する。
Φ(0) ≠ 0であるΦに対して、
Φ(x + y) = Φ(x)Φ(y)
が成り立つとき、Φは指数法則を満足する。

Φ(0) = Φ(0 + 0) = Φ(0) Φ(0) = Φ(0)^2
Φ(0) ≠ 0 なので
Φ(0) =　1

Φ(1) = Φ(1/2 + 1/2) = Φ(1/2)Φ(1/2) = [Φ(1/2)]^2
Φ(2) = Φ(1 + 1) = Φ(1)Φ(1) = [Φ(1)]^2
Φ(3) = Φ(1 + 1 + 1) = Φ(1)Φ(1)Φ(1) = [Φ(1)]^3
Φ(n) = Φ(1 + 1 + 1 + ... + 1) = Φ(1)Φ(1)Φ(1)...Φ(1) = [Φ(1)]^n

よって
Φ(n) = a^n

ここで思ったのですが、Φに整数以外を代入する意味はあるのでしょうか？
また、Φに分数を入力すると、Φはなにを返してくれるのでしょうか？

ネット上にΦに分数を入力している人をあまり見たことがありませんので質問をさせていただきました。

定義から推察するに。
Φ(1) = 4　だった場合、
Φ(1/2) = 2 = 4 ^(1/2)、
Φ(2) = 16 = 4^2
のような気がするのですが、それでいいのでしょうか？

また、このような関数を定義することで、そんなに楽できたり、便利だったりするのでしょうか？
いまいちピンときません。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞また、Φに分数を入力すると、Φはなにを返してくれるのでしょうか？

　Φに 1/n を入力すれば　式変形を逆に使って　ｎ乗根を返してくれます。
　　Φ(1/n)={Φ(1)}^(1/n)
　（例）Φ(1) = 4　のとき　Φ(1/2)={Φ(1)}^(1/2)=4^(1/2)=2

＞また、このような関数を定義することで、そんなに楽できたり、便利だったりするのでしょうか？

　実用的な面から考えると、かけ算を足し算にできるので、桁の大きな数字を計算するときに便利になります。
　例えば　確率計算などで　(1/2)^1000　がどのくらい小さいか計算するとき　指数関数の知識を使うと計算機や数表を使った手計算でも求めることができるようになります。

お礼

ありがとうございました。
大変参考になりました。