バンド理論の初歩でつまずいています！！
以下、僕の理解を示すため、あと、質問に入るため、すこし長文を書きます。
以下が大体の僕の理解だと思ってください。一応、量子力学、統計力学は理解しているつもりです。
結晶中では原子や分子の単位構造が規則的に並んでおり、電気伝導においてはその規則的な構造の中を電子が動き回る。ここでは簡単のため、長さがＬの１次元の結晶を考える。量子力学から、閉じ込められた自由電子の波数kとエネルギーEには
E = (h_bar*k)^2/(2*m) ; k = ±2πn/L
という関係にある。このため、通常であれば自由電子のエネルギーはこの式によって連続的であるはず。
結晶が単位構造が１原子からなり原子間隔がaであるとする。次の式が満たされるとき、波数kの電子の波動関数はブラッグ反射を起こして、その存在密度は散乱される。
k = ±π/a
このため、結晶内で式を満たす波数k付近の波数を持つ電子は自由電子のようにはふるまえない。進行波は散乱され、電子の波動関数は定在波でしか許されない。１つの自由電子の波動関数ψの定常波はシュレーディンガー方程式から
ψ(x) = Aexp(ik*x)+Bexp(-ikx)
で与えられる。A,Bは任意の定数である。これよりこのモデル結晶での自由電子の波動関数の定在波は、
ψ(+) = exp(ik*x)+exp(-ikx) = 2cos(kx)
ψ(-) = exp(ik*x) - exp(-ikx) = 2isin(kx)
のどちらかの形をとると考えられる（☆）。
これにより２つのことなるエネルギーを取りうる。この差をバンドギャップという。この差によってエネルギーは連続性を失う。
ひっかかっているのは☆の部分です。
・・・なんでこの２つの形が許されるのですか？
個人的には差をとっているψ(-)が大変気に食わないのですが・・・。波の重ね合わせの議論ならば、和のψ(+)で十分では？
かなり考えたのですがもう泥沼です。助けてください。
