固体電子論で波数kを導入する理由

質問

固体電子論では波数kを導入して波数空間を空間座標系として用いると思いますが、なぜこんなことをするのでしょうか。

過去の質問などを拝見して、もしもxyz空間のように位置座標系を用いようとしても「位置固有状態が、かならずしもエネルギー固有状態ではないので、位置とエネルギーを同時に決定できない」ため電子のエネルギーを表すのが不可能であるから　と書いてありました。

楽天での質問ですが　→　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3093234.html

これは不確定性原理が元になっていると考えていいのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

wata717 · ベストアンサー

運動量の代わりに波数を使うことは、どちらでも良いので該当者の好みの問題だともいえます。
特に固体論では結晶格子を組んでいる可能性があり、並進対称性が非常に有効利用できて（ブロッホの定理）
逆格子やブリルアンゾーン（結晶周期より小さな波長の波数は考えなくてよい）などの概念が導出されます。
また固体の大きさが有限であるために表面の効果を回避するためにボルンーフォン・カルマン
の周期的境界条件が適用されます。すると固体中で許される最大波長は固体の大きさそのものになります。
このように運動量を用いるより波長の逆数である波数が一般に固体論では好まれるのではないでしょうか。

回答No.1

wata717

基本的には、ミクロの世界では量子力学の法則に支配されている
ということが出発点です。その世界では光や電子など物質は量子という粒子性
と波動性の二面性があります。光を光子として、或いは電子としてxyz空間で
測定記述できるでしょうか。ところが量子と考えて波動性を利用して
光や電子を運動量空間で測定記述することは可能です。運動量は波数に
比例し、波数とは波長の逆数です。運動量はプランク定数と波数の単なる積
です。従って通常固体論では運動量空間と呼ばず波数空間と呼びます。
数学的にはxyz空間を実空間と呼び、運動量空間を逆空間と呼び両者は相互に
フーリエ変換の関係にあって、相互に往来可能です。

補足

新しく質問したいことがでてきてしまったので、再び質問させていただきます。

＞運動量空間
逆格子空間が運動量空間と等価だということは、確かにそうですが見逃していた事実です。
若干わかってきた気がします。

さてこれを踏まえて自分の仮説を立ててみました、運動量に関する不確定性原理では
⊿x ⊿p ≦　h/4π
で与えられていたと思います。これは位置と運動量は同時に決定できないというものだ、と記憶しています。

ここで位置を決定した時、つまり実空間を想定した時、運動量pは決まらないということですよね？
そうなると電子のエネルギー
(mv^2 / 2 + V = p^2 / 2m +V)

は決定できないということになります。つまり不確定性原理が成り立つと考えた時実空間上に電子のエネルギーはプロットできず、運動量と実質等価の波数k空間でのみ記述が可能ということが分かります。

という理解でいいのでしょうか。
またこの解釈が正しいとすると、なぜ波数空間で記述し運動量では記述しないのでしょうか。
またフーリエ変換により「等価」という記述がありますが、これだとk空間上にエネルギー分布をプロットした際フーリエ変換をすると実空間上にエネルギーを分布できるということになりませんか。少し疑問が残ります。フーリエ変換に関してあまり詳しくないので…