光学の問題についての質問です。

質問

電場E~を以下のように表記したとき、波数ベクトルkと電場Eが垂直でなければならないことを、ガウスの法則∇・D~＝０から導け。

E~=A~cos(wt-k~r~)

上記の問題が分からず、困っています。力になっていただけないでしょうか、よろしくお願いします。

回答No.4

hitokotonusi

#2です。

#3さんが書かれている通りなのですが、さらに丁寧にやっておきます。
振幅A~は定ベクトルとするとE~の成分は

Ex = Ax cos[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]
Ey = Ay cos[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]
Ez = Az cos[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]

原点の座標を(x0, y0, z0)としてr_x = x-x0, r_y=y-y0, r_z=z-z0なので

∂Ex/∂x = ∂{ Ax cos[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)] }/∂x = Ax ∂{ cos[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)] }/∂x
= Ax ( k_x sin[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)] )= (Ax k_x) sin[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]

同様に

∂Ey/∂y = (Ay k_y) sin[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]
∂Ez/∂z = (Az k_z) sin[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]

したがって、

div E~ = ∂Ex/∂x +∂Ey/∂y +∂Ez/∂z
= (Ax k_x + Ay k_y + Az k_z) sin[wt-(k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z)]
= 0

これは任意のx,y,z,tで成り立たなければならないので、

(Ax k_x + Ay k_y + Az k_z) =A~k~ = 0

A~とk~の内積が0であるということはA~とk~が直交していることをあらわす。
A~はE~と平行なベクトルなので、E~とk~も直交する。

[注意] 題意から考えてこれは等方的な媒体に関するものと思われるので(異方性の媒質ならE~はk~と直交しない)、電気変位D~と電場E~が平行としている。

回答No.3

yokkun831

平面波で偏波面の回転なし、減衰なしでA~は定ベクトルと考えてよいのだと思います。
A~=(Ax,Ay,Az)、k~=(kx,ky,kz)、r=(x,y,z)とすると、
E~ = A~cos(ωt-k~・r~) = A~cos(ωt-kx x-ky y-kz z)
したがって、
∇・E~=∂/∂x{Ax cos(ωt-kx x-ky y-kz z)}+・・・
=Ax kx sin(ωt-kx x-ky y-kz z) + ・・・
=(Ax kx + Ay ky + Az kz)sin(ωt-kx x-ky y-kz z) = 0
すなわち、A~・k~=0　∴E~・k~=0　∴E~⊥k~
となると思うのですが。

回答No.2

hitokotonusi

k~r~が内積で

k~r~=k_x r_ｘ＋k_y r_y＋k_z r_z

であることがわかればあとはdivを計算すればすぐに解決すると思います。

補足

御回答ありがとうございます。

さすがにそれは分かるのですが・・・。
divというのはナブラとの内積の事ですよね。
最終的に波数ベクトルと電場の内積が０であることを示すのにどう、divを使うかが分かりません。

稚拙な質問かと思いますが、よろしくおねがいします。

回答No.1

yokkun831

∇・E~＝０からただちにk~・A~＝０が導かれます。

補足

御回答ありがとうございます。

なぜそのように導かれるのでしょうか。
波数ベクトルと振幅の内積というのは何を表すのでしょうか。
基本的な質問ばかりで申し訳ありませんが、よろしくお願いします。