重心？

質問

噂で三角形abcの重心gとしたとき三角形abg=三角形bcg=三角形cagになる。

って聞いたんですけど参考書などでも見たことがありません。
これって本当ですか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

簡単な方法が思いつかないが、座標で証明しよう。

Ａ（0、a）、Ｂ（-b、0）、Ｃ（c、0）、a＞0、b＞0、c＞0とする。
従って、ＡＢ＝√（a＾2＋b＾2）、ＡＣ＝√（a＾2＋c＾2）、ＢＣ＝b＋c。
重心Ｇの座標は、Ｇ（c-b/3、a/3）から、α＝（c-b）/3、β＝a/3とする。‥‥(1)
直線ＡＢの方程式は　-ａｘ＋ｂｙ-ａｂ＝0　‥‥(2)
直線ＡＣの方程式は　ａｘ＋cｙ-ａc＝0　‥‥(3)
直線ＢＣの方程式は　ｙ＝0　‥‥(4)
又、重心Ｇが直線ＡＢと直線ＡＣの下、直線ＢＣの上にあるから、-ａｘ＋ｂｙ-ａｂ＜0、ａｘ＋cｙ-ａc＜0、ｙ＞0.　‥‥(5)
(5)を踏まえた上で、Ｇと直線ＡＢとの距離は、ヘッセの公式より（ａα-ｂβ＋ａｂ）/√（a＾2＋b＾2）。
Ｇと直線ＡＣとの距離も　（-ａα-cβ＋ａc）/√（a＾2＋c＾2）。
Ｇと直線ＢＣとの距離はβ。

以上から、(1)を使うと、2*△ＡＢＧ＝（底辺）*（高さ）＝（ａα-ｂβ＋ａｂ）＝a*（b+c）/3。
2*△ＡＣＧ＝（-ａα-ｃβ＋ａｃ）＝a*（b+c）/3。
2*△ＢＣＧ＝β（b+c）＝a*（b+c）/3。

以上から、△ＡＢＧ＝△ＡＣＧ＝△ＢＣＧ。

回答No.1

owata-www

本当です。

あまり適当なものはありませんでしたが参考に
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/heso/heso1_1.htm