同値変形
△ABCの重心Gを通る直線が辺AB,辺ACと交わっている。この直線と辺ABとの交点をP,辺ACとの交点をQとおき,定数k,lをAP→=kAB→,AQ→=lAC→により定める。このとき,点(k,l)が描く曲線を求めよ。
という問題で私は以下のように考えました
P,Qが辺AB,辺AC上にある⇔0≦k≦1,0≦l≦1ー(1)
P,G,Qがこの順に一直線上にある⇔AG→=(1-t)kAB→+tlAC→,0≦t≦1となるtが存在するー(2)
Gが△ABCの重心である⇔AG→=(AB→+AC→)/3ー(3)
より与条件は(1)かつ(2)かつ(3)と同値
ここからさらに同値変形して行こうとしたのですが
(2)かつ(3)
⇔(AB→+AC→)/3=(1-t)kAB→+tlAC→,0≦t≦1となるtが存在する かつ (3)
⇔(1-t)k=1/3,tl=1/3,0≦t≦1となるtが存在する かつ (3)
⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9 かつ (3)
したがって
(1)かつ(2)かつ(3)
⇔0≦k≦1,0≦l≦1,(k-1/3)(l-1/3)=1/9 かつ (3)
グラフより
⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9,1/2≦k≦1 かつ (3)
となり最後まで(3)が残ってしまいました
これがどういうことなのかよく分かりません
正しく同値変形できてると思うのですが
(3)が何故残るのかお教えください
また間違ってる点があればご指摘お願いします
お礼
早速のご回答ありがとうございます！ なるほどたしかにその形のほうが綺麗ですね！ ありがとうございました！