地球上では重いものほど速く落ちるか？

質問

友人と自転車で走っている時にふと思ったことです。坂道で初め同じような速度で走っていても坂道の最後には必ずかなりの速度差がついてしまうのです。僕は体重９５キロ、彼は５０キロ前半だと思いますが、いつも僕のほうが速くなってしまうのです。これは一体何故なのでしょうか？　純粋に重力のみを考えれば体重に関係なく、速度は一定で増加し、坂道を下り終えたところでも速度は一緒のはずです。もちろん現実では空気抵抗もありますし、タイヤと路面の摩擦、チェーン等の動力部分にかかる摩擦もあるでしょう。しかし空気抵抗は高速になればかなり効いてくるとは思いますが、自転車の速度なんて高々知れたものです。そのような低速な条件下でそれほどの速度差を生むものなのでしょうか？　また上に挙げたような摩擦力もそれほど大きな速度差を生む原因とは常識的に考えにくいと思いますが、皆さんはどうお考えでしょうか？　地球上ではやはりアリストテレスの「重いものほど速く落ちる」というのは正解だったのでしょうか？

回答No.17

noname#11476 · ベストアンサー

まず
ａ＝ｇ－Ｃ×Ｖ＾２／Ｍ＾（１／３）
ですが、速度Ｖ＝０の時には第二項は０になります。
つまり加速度は体重に関係なく同じになります。

あと、時間ｔを含む式としてＶ（ｔ）をさらに加速度で表すと、
Ｖ（ｔ）＝積分｛ａ（ｘ）ｄｘ｝（範囲ｘ＝０～ｔ）
となりますので、積分を含む式となります。
このＶ（ｔ）の式をａ（ｔ）＝の式に代入するわけですね。
つまり簡単な式ではないんですよ。
Ｖ＝ａｔと簡単に書けるときはａ＝時間によらず一定という条件の場合のみです。

あと空気抵抗についてですが、－ｋｖは簡略または近似でしょうね。
でも速度の二乗に比例するのは直感的にイメージできますけどね。
私はバイク乗りなので、速度を出していくと急激に空気抵抗におそわれますので。（オフでは結構つらい、、）
http://www.tokyo-bay.ne.jp/~watanabe/ecorun/frameset/main_window/resistance/air_flow_resisitance/air_flow_resistance.html
とか、
http://ace.ees.utsunomiya-u.ac.jp/netu/kougaku/chap9.html
などをご参照下さい。
私は特に専門家というわけではないので、詳細はよくわかっていませんので。^^;

お礼

２度にわたって詳細な解説をありがとうございました。またその他、いろいろな回答をお寄せ下さった方々、本当にありがとうございました。失礼ながらここでまとめてお礼を申し上げたいと思います。皆様のアドバイスのおかげでようやく納得することができました。

回答No.18

wolv

空気抵抗は、粘性抵抗f1と慣性抵抗f2の２種類あって、例えば半径aの球の場合は
　　　f1 = 6 π a η υ
　　　f2 = (π/4)ρ0 a^2 υ^2
となります。

参考URL：

http://www2s.biglobe.ne.jp/~butsuri/html/kyuukeishitsu.html

お礼

前にも助言を頂いた方ですね。その後もこの質問を気にかけていただき、本当にありがとうございました。紹介いただいたＨＰは早速参考にさせていただきます。締め切り後ということでポイントを差し上げることはできませんが、心より感謝申し上げます。

回答No.16

kikero

＃１３の方へ
　下りでの自転車の速度は５０km以上出ます。３０kmなんてなんてことない。私は毎日自転車通勤ですが、必ず４０kmくらい出ています。別に大した風圧では有りません。
　もっとも、６０ｋｍ以上出そうと思えば物凄い下り坂でも更に漕が無ければ風圧が邪魔しますけど。

回答No.15

noname#11476

体の大きさを表す指数をＡとすると、体重Ｍと体の前面の面積Ｓは、大雑把に言うと、
Ｓ＝Ａ＾２
Ｍ＝Ａ＾３
と考えても良いですね。言い換えると、
Ｓ＝Ｍ＾（２／３）
です。

そして、大雑把に言うと、
・空気抵抗Ｆｒは速度Ｖの二乗に比例して大きくなる。
・空気抵抗Ｆｒは面積Ｓに比例して大きくなる。
という関係が成立します。つまり定数をＣとすると、
Ｆｒ＝Ｃ×Ｓ×Ｖ＾２
です。
さて、ここに先ほどの式を代入すると、

Ｆｒ＝Ｃ×Ｍ＾（２／３）×Ｖ＾２

さて、物体の加速度ａは重力による力をＦｇ＝Ｍ×ｇ（ｇ：重力加速度の何割か：坂の傾斜で決まる）とすると、
Ｆｇ－Ｆｒ＝Ｍ×ａ
ａ＝（Ｆｇ－Ｆｒ）／Ｍ
ですね。
では全部をまとめると、
ａ＝（Ｍ×ｇ－Ｃ×Ｍ＾（２／３）×Ｖ＾２）／Ｍ
　＝ｇ－Ｃ×Ｖ＾２／Ｍ＾（１／３）
となります。
加速度ａは
・質量Ｍが大きくなると第二項は小さくなるからａは大きくなる。
・速度Ｖが大きくなると、第二項は二乗に比例して大きくなるからａは小さくなる。
となりますね。

では実際に人間のＦｒはどのくらいなのというと秒速１０ｍ（つまり１００ｍを１０秒で走るくらい）で３０Ｎ位です。判りやすいように体重６０ｋｇの人の加速度の単位に直してあげると０．４ｍ／ｓ＾２位の加速度を受けることになります。
垂直な重力加速度は約１０ｍ／ｓ＾２で、坂だと２～３ｍ／ｓ＾２程度が進行方向への加速度ですよね。
すると０．４という数値は決して小さくはないのですね。
自転車は１００ｍなら１０秒もかからないからもっと影響は大きくなりますね。

では。

補足

式を用いて説明していただき、非常に分かりやすかったです。疑問はほぼ解消できました。
　ただあとは直接質問には関係ないのですが、学術的興味で教えていただきたいことが２、３ありますので、もしもよければお答え願います。
　まず結論としてａ＝ｇ－Ｃ×Ｖ＾２／Ｍ＾（１／３）というのが出てきましたよね。けどこの式に出てくるＶというのは加速度aの関数でもありますよね？　つまり初速度をＶ0、時間をｔで表せばＶ＝Ｖ0＋aｔという式が成り立ちますよね？　これを結論の式に代入して、定数をちゃんといれてやれば、ちゃんとした自転車の速度－時間グラフが書けますでしょうか？　
　また導いていただいた結論式を大雑把に解釈するとすれば、静止状態から始まるとすると最初、重い人はその体重ゆえ加速度が大きく、すぐに速度が増すが、速度が上がるにつれて空気抵抗が増大し、加速度は小さくなる。一方、軽い人は最初は遅いが、遅いゆえに空気抵抗が少なくて済み、加速度も小さくなる。結局、運動初期で速度差が最大になり、あとは終端速度の差まで緩やかにその速度差が縮まっていく、という感じになるのですね。

　最後に。空気抵抗は速度の２乗に比例して大きくなるのですね。初めて知りました。何しろ物理は高校までしかやってなかったので、高校教科書に乗っている「ｍｇ＝ｍa－ｋｖ」しか空気抵抗の式を知らなかったもので・・・　ではこの高校教科書の式は厳密には誤りになるのでしょうか？　この式だと明らかに空気抵抗は速度の１乗にしか比例していないと思われるのですが・・・

　お手数ですが回答をいただければありがたいです。

回答No.14

kikero

落下速度は重力加速度によるもので、真空中では質量に無関係です。
　しかし、空気中では空気抵抗を受け、この抵抗は風を受ける面積に比例します。
　自由落下と空気抵抗がつり合ってもはや加速されず一定になる速度を「終端速度」と言います。
　人間の体が球計だと仮定して見ましょう。
　半径が２倍になると、体重は２の３乗の８倍になりますが、風の抵抗を受けるべき表面積は２の２乗の４倍にしかなりません。つまり、体重当たりの抵抗を受ける面積割合が減るので終端速度は速くなります。
　なお、自転車の性能（機械精度）により下り坂での速度はかなり異なります。

回答No.13

wolv

ちなみに、時速30kmは約秒速８ｍですよ。
秒速８ｍの風の風圧は無視できるようなもんじゃないと思います。

補足

確かに時速３０ｋｍは速すぎたかもしれません。実験の時は本当にゆるやかな坂で初速はほぼ０で、降りてきた時も５０ｍ競争の人よりも遅いような感じがしましたから時速２０ｋｍはとても出ていなかったと思います。恐らく・・・時速１５～１８ｋｍくらいだったでしょうか。それでも坂を下りてきたときはかなりの速度差がついていましたからね。

回答No.12

wolv

あ、No9の回答を理解しました。

加速を妨げる力をf2とすると、
（一応、物体の質量の関数としておく）

加速するための力：　f = m g cos(x) - f2(m)
力と加速度の関係：　f = m a

これからf,mを消去すると
　a = g cos(x) - f2(m) / m
つまり、mが２倍になってもf2 が２倍ほど増えなければ、
aは大きな値になりますね。

失礼しました。

回答No.11

ken-oo

理想的な状況、すなわち、自転車と地面との摩擦力が０で
空気抵抗も０であると仮定すると、お二人の加速度はまったく
同じになり、結果として、速度０の状態から同時にスタートすれば、
お二人の速度も常に一致する事になります。

しかし、実際にはお試しの結果のとおり、体重の重たいあなたの
方が最終速度が大きくなります。

これは、主に空気抵抗による影響が０ではなく、しかも体重の軽い
お友達の方により大きく現れるからです。

なぜなら、お友達の方が、体重に対する体表面積の割合が、大きいからです。
例えれば、お友達が1万円札1枚ならば、あなたは１００万円の札束。
正面から見れば同じ大きさですけど、どちらが風に飛ばされやすいかは
明らかでしょう。

言い方を換えれば、「モデル化した人体（同形・同密度）の場合、
体表面積は体長の２乗に比例するが、体重は体長の３乗に比例する」
というわけです。

補足

ご解説いただき、だんだん問題の核心が分かってきました。どうやらこの問題は、空気抵抗そのものの大きさではなく、空気抵抗の受けやすさ、にあるような気がしてきました。ただまだいくつか疑問が残りますのでさらに質問させていただきます。
　まず、体重に対する体表面積の割合が大きいほうが、言い換えれば体表面積あたりの体重が小さいほうが空気抵抗を受けやすい、というのは十分理解できます。ただし、それは空気抵抗が両者とも全く同じと考えた場合ですよね？　実際には風を最も受ける正面の面積は（正確に測ったことはありませんが）１．５倍はなくても１．２～１．３倍くらいはあります。当然表面積が大きければ受ける空気抵抗も大きくなりますよね？　そうなると体表面積あたりの抵抗は増してしまうわけで・・・・　結局、広い体表面積が体重あたりの抵抗力を軽減している分、その分全体の抵抗力も増してしまうわけで同じことではないのか、という疑問です。
　それと１万円札の例ですが、分かりやすいのですが、どうも納得できません。というのもあまりに空気抵抗が大きすぎるからです。これでは自転車を高速で走らせた場合と同じではないでしょうか？　問題は、高校教科書を借りると、ma=mg-kvで表された空気抵抗の式で、mが十分に大きく、かつｖが小さい時、aには実際に自転車を走らせた時ほど大きな値が出てくるのか、というのが分からないんです・・・

回答No.10

wolv

勘違いしてる人が多いようですが、
加速力？だけを考えると、
重さに関係ありません。

いや、加速「力」は確かに変わるのだが、同じだけ加速に必要な力も増えるので、加速度は同じになります。

数式で書くと、斜面に平行な方向へ働く力fは、斜面と水平面の角度をｘとすれば、
　f = m g cos(x)
になります。mは物体の質量、gは重力加速度です。
物体に力fを加えたときの加速度aは
　f = m a
です。これらからm,fが消去できて、
　a = g cos(x)
つまり、加速度は物体の質量に無関係に決まります。

参考URL：

高校の物理の教科書

回答No.9

linus3030

競技スキーの世界では
重い＝早い　は常識です。

重さが２倍なら
加速力は（慣性力も）２倍ですが
摩擦力は２倍も増えないので
加速力－摩擦力で考えると
加速度は重い方が早くなります。

補足

確かに競技スキーなど、かなりの高速を出すものなら、空気抵抗で重いものほど速く進むということは理解できます。そもそも終端速度はその物の重さによって決まってしまいますしね。ただ今回の場合、とてもそこまで速度は出ていないんですよ。多分出ていたとしてもせいぜい３０キロ程度だと思います。そのような低速下で空気抵抗がどれほど運動に影響を及ぼすのかが問題なんですね・・・

回答No.8

godakaz

自転車が坂道を走り(転がり？)降りるためには、タイヤが回転する必要があります。
そして、タイヤを回転させるときには、タイヤ自身の回転モーメント（回転系における質量のように作用する）に対して、回転を起こさしめるための外力が必要です。
ここで、傾斜が同じ斜面において、重力によって下方に引っ張られる物体に及ぶ力を考えてみると、斜面に直行して斜面自体に向かう力と、斜面に沿って斜面下方に向かう力に分解できます。
このとき、斜面下方に向かう力は、その物体に及ぶ重力による力（端的に言えば「重さ」）の分力ですから、重いほうが大きくなります。

とすると、タイヤを回転させるために働く外力は、重いほうが大きいということになるかと。

つまり、回転モーメントなどによる抵抗を全く無視できるような、例えば「垂直落下」であれば、体重差が２倍あったとしても、ほぼ同じタイミングで落下するかと思われますが、本件の場合は「転がり」に及ぼす力として「重いほうが大きい」ということの結果かと。

補足

「転がり」に及ぼす力が「重いほうが大きい」ということは理解できます。・・・が、重いほうが動かす力もそれだけ大きなものが必要ですよね・・・？