だ円の回転移動と、y=-xとの部分の回転体の体積

質問

曲線の４５°回転をよく理解していません。sin,cosを使った変換公式に入れればよいのでしょうか。次の問題（１）で回転移動したあとの方程式がわからないので、（２）の積分計算まで至らないままです。定積分の式が出れば、多分計算はできると思います。それで、本当に勝手なのですが、今夜のうちに、何とかして解きたいとバリバリ焦っている有様です。誰か急いで助けていただけないでしょうか。どうぞよろしくお願いします。

＜問題＞　x^2＋3y^2＝2　で与えられるだ円Cを考える。
（１）　だ円C上の点(x，y)を原点のまわりに45°回転した点を(Ｘ，Ｙ)とするとき、(Ｘ，Ｙ)がみたす方程式を求めよ。

（２）　だ円Cと直線 ｌ（エル）：y=-x とで囲まれる領域のうちの右上の部分を、直線 l を軸に回転してできる立体の体積を求めよ。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
楕円x^2＋3y^2＝2
を反時計周り（左回り）に45°回転するには
x=Xcos45°+Ysin45°
y=-Xsin45°+Ycos45°
を代入して(X,Y)の式が移動後の楕円の式になります。
つまり
(Xcos45°+Ysin45°)^2+3(-Xsin45°+Ycos45°)^2=2
(X+Y)^2+3(-X+Y)^2=4
4X^2-4XY+4Y^2=4
4で割り、流通座標に置き換えると
x^2-xy+y^2=1 ...(1)の答え

(2)
45°回転させる前で考えれば
x^2＋3y^2≦2 (x≧0)
をy軸の周りに回転した楕円体の体積なので楕円体体積公式
V=(4/3)πabcを用いれば
　V=(4/3)π(√2)^2*√(2/3)=8(√6)π/9 ...(2)の答え

まともに体積積分して求めてもいいですが、上のように考えれば暗算でも答えが出せます。
となります。

お礼

１日延ばしてもらいながら、（１）は図形位置として考えていたら、三角比を使った公式に辿り着くことができました。その上、教えてもらった解答と一致！
ていねいな説明を書いてもらって、大感激です。（２）も自分なりに体積積分にトライしてみます。本当にありがとうございました！！！

回答No.2

k14i12d

(1)つまり原点の周りの45°回転を表す行列をAとすると、p=(x,y),q=(X,Y)←どっちもベクトルとします。
として、Ap=qで表されるから、これを計算して、それぞれの座標の関係式が得られる。
連立して解くだけ。
(2)は素直に(1)を利用して解く(計算は割と煩雑だが、普通に積分するだけになる)か、わざわざ流れに逆らい、媒介変数表示して、積分するかの2つが思いつく。
どちらにせよ計算は煩雑。

お礼

急ぎ解法を書いていただき、どうもありがとうございました。ただ、あいにくなことに、行列がイマイチなので、別の方針で進めていました。数学が弱いと、正解がわかっていなければ、いつの間にか泥沼に入ってしまいます。でも、指針を示してもらい、重ねてお礼を。

回答No.1

Tacosan

(x, y) を (X, Y) で書く.

ただ, 努力と根性があれば (1) を無視して (2) だけ解くこともできるはずなんだが....