回転体の体積の求め方について

質問

とある数学の問題なのですが　連立不等式
｛　Xの二乗＋〈Y－1/2〉の二乗≦１　　Y≧０　｝　を表す図形をX軸の周りに回転してできる回転体の
体積の求めよ。とあります　　積分などを使う事は覚えているのですが、解き方を忘れてしまいました。
上記の問題の解き方と解答を教えて下さい。　　よろしくお願いします。

回答No.4

info22_

No.2です。

ANo.2の訂正
V=…の式中
>　 =π((π/2)-(-π/3))+π[-2cos(t)+(1/2)sin(2t)][-π/6→π/2]
>　　+π∫[-π/6→π/2]{sin(3t)-sin(t)}dt
　 =π((π/2)-(-π/6))+π[-2cos(t)+(1/2)sin(2t)][-π/6→π/2]
　　+π∫[-π/6→π/2]{sin(3t)-sin(t)}dt

>　 =(5/6)π^2 +π{√3+(1/4)}
>　　+π[-(1/3)cos(3t)+cos(t)][-π/6→π/2]
>　 =(5/6)π^2 +{(1+2√3)/4}π

　 =(2/3)π^2 +π5√3/4-π(√3/2)
　 =(2/3)π^2 +(3√3/4)π ...(答え)

>[別解]
の方の積分も実行すると上の(答え）と一致します。

[別解2]
回転する領域の図形は添付図の黄色と水色と緑色の部分を合せた図形です。
図形ACODBFHEの面積S1は
　S1=(√3/2)+(π/3)
図形ACODBFHEの重心は(0,1/2)であるから
パップス・ギュルダンの定理よりS1をx軸の周りに回転した体積V1は
　V1=S1*2π*(1/2)=(√3/2)π+(1/3)π^2
長方形CDFEをx軸の周りに回転した体積V2は円柱の体積公式より
　V2=π*1^2*√3=2√3π
両側の弓形図形ACLEとBDMFをx軸の周りに回転した2つの回転体の合計体積V3は
　V3=V1-V2=(√3/2)π+(1/3)π^2 -2√3π=(1/3)π^2 -(3√3/2)π
弓形図形EHFGをx軸の周りに回転した回転体の体積V4は
バウムクーヘン形回転体の体積公式を使って
　V4=2π∫[1→3/2] 2y√{1-(y-(1/2))^2}dy
　　=(1/3)π^2+(√3)(π/4)
以上から、求める回転体の体積Vは
V=V2+V3+V4=(2/3)π^2+(3√3/4)π

と同じ体積の結果が出ます。

参考URL：

http://www.suguru.jp/culture/pappus.html

回答No.3

yyssaa

＞x^2+(y-1/2)^2≦1、y≧0は添付の斜線部分(見難いですが)。
図の赤色点線部分の面積dsは、x=±√{1-(y-1/2)^2}から
ds=2√{1-(y-1/2)^2}dy
この部分がx軸の周りに回転してできる回転体の体積dvは
dv=2πyds=2πy*2√{1-(y-1/2)^2}dy=4πy√{1-(y-1/2)^2}dy
よって求める体積VはV=4π∫[y=0→1.5]y√{1-(y-1/2)^2}dy
ここでy-1/2=sinθとおくと[y=0→1.5]は[θ=-π/6→π/2]、
dy=cosθdθだから
V=4π∫[θ=-π/6→π/2]{(1/2)+sinθ}√(1-sin^2θ)cosθdθ
=4π∫[θ=-π/6→π/2]{(1/2)+sinθ}cos^2θdθ
=2π∫[θ=-π/6→π/2]cos^2θdθ
+4π∫[θ=-π/6→π/2]sinθcos^2θdθ
=2π∫[θ=-π/6→π/2]cos^2θdθ
+4π∫[θ=-π/6→π/2](sinθ-sin^3θ)dθ
=2π∫[θ=-π/6→π/2]cos^2θdθ
+4π∫[θ=-π/6→π/2]sinθdθ
-4π∫[θ=-π/6→π/2]sin^3θdθ
=2π{(1/2)θ+(1/4)sin2θ}[θ=-π/6→π/2]
+4π(-cosθ)[θ=-π/6→π/2]
-4π{(1/3)cos^3θ-cosθ}[θ=-π/6→π/2]
=2π^2/3+3√3π/4・・・答
(計算ミスご容赦)

回答No.2

info22_

バウムクーヘン型の回転体体積積分公式を使えば
　V=2π∫[0→3/2] y(2√{1-(y-(1/2))^2}dy
で体積が求められます。
y-1/2=sin(t)と置いて置換積分すれば
y:0→3/2のときt:-π/6→π/2
dy=cos(t)dt
であるから
　V=4π∫[-π/6→π/2]{(1/2)+sin(t)}cos^2(t)dt
　 =π∫[-π/6→π/2]{1+2sin(t)}{1+cos(2t)}dt
　 =π∫[-π/6→π/2]{1+2sin(t)+cos(2t)+2sin(t)cos(2t)}dt
　 =π((π/2)-(-π/3))+π[-2cos(t)+(1/2)sin(2t)][-π/6→π/2]
　　+π∫[-π/6→π/2]{sin(3t)-sin(t)}dt
　 =(5/6)π^2 +π{√3+(1/4)}
　　+π[-(1/3)cos(3t)+cos(t)][-π/6→π/2]
　 =(5/6)π^2 +(π/4)(1+4√3) -π(√3/2)
　 =(5/6)π^2 +{(1+2√3)/4}π　...(答え)
という具合。
[別解]
別の回転体の積分公式を使うなら
　V=π∫[-1→1] {(1/2)+√(1-x^2)}^2 dx
　　-π∫[-1→-√3/2]{(1/2)-√(1-x^2)}^2 dx
　　-π∫[√3/2→1]{(1/2)-√(1-x^2)}^2 dx
　 =2π∫[0→1] {(1/2)+√(1-x^2)}^2 dx
　　-2π∫[√3/2→1]{(1/2)-√(1-x^2)}^2 dx
　 =π∫[0→1] {1+2√(1-x^2)}^2 dx
　　-π∫[√3/2→1]{1-2√(1-x^2)}^2 dx
　 =π∫[0→1] {5-4x^2-4√(1-x^2)} dx
　　-π∫[√3/2→1]{5-4x^2-4√(1-x^2)} dx
この続きは、教科書の積分公式を参考にすれば自力でやれるでしょう。

丸写ししても何の役にも立たないよ。ちゃんと教科書を復習して、理解できるレベルまで勉強し直さないとダメだよ。頑張ってください。

回答No.1

kamikami30

あまり覚えるものでもないかと。

回転体
断面は絶対に円

与えられた関数
上記の円の半径わかりそう

上記をもとに、積分ってなんだろな？
が、分かれば出来ると思います。

あと、面積の定義や体積の定義もわからなかったら調べた方が良いですよ。