スピンとスピン行列についてお聞きします

質問

スピンは１/２なのがフェルミオンで０や１なのがボソンだと良く伺いますが、では、どうして数値そのものをスピンだと言ったら叱られて「スピン行列で書け！」と命令されるのでしょうか？

回答No.3

grothendieck

私は「スピンの大きさでなく、行列でないとスピンが指定できない」などと言ったりはしませんのでご質問の趣旨が良く分かりません（スピンの大きさを指定すればスピン行列はユニタリ変換の自由度を除いて一意的に決まってしまう）。ただスピンの状態はスピノールではなく、一般には密度行列で表さなければならないことにご注意いただきたいと思います。スピン1/2粒子のｚ軸方向に偏極した状態|↑>と-z軸方向に偏極した状態|↓>を重ね合わせて
　(|↑>+|↓>)/√2
を作るとこれは偏極していない状態ではなく、ｘ軸方向に偏極した状態になります。このことは誰も疑ってはいませんでしたが、中性子干渉計で確認されたのは比較的最近のことです。
スピン各成分の期待値からなるベクトルをＳとするとスピン1/2粒子の密度行列は
　ρ= (1 + S・σ)/2
だったかと思います。ここでσはパウリ行列です。ところがこの式はスピン1以上には通用しません。パウリ行列を対応する行列で置き換えたのではだめなのです。このことから「スピン全ての成分の期待値を指定しても状態は決まりません。密度行列をちゃんと書きましょう。」ということは言えるかと思います。

回答No.2

siegmund

ojisan7 さんが
> 角運動量（スピン）は本来、スピノールに作用する演算子ですから、
> ２行２列の行列で表現しなければなりません。
と書かれているとおりでしょう．

軌道角運動量のことを思い出してみればもっと明確になります．
軌道角運動量演算子を座標表示で書けば
(1)　　l_z = -i(h/2π) {x(∂/∂y) - y(∂/∂x)}
などですが，微分がありますのでもちろん演算子で，単なる数ではありません．
作用する相手は波動関数です．
適当な基底を取ると(球面調和関数)，軌道角運動量演算子は行列で表現することができます．

スピンの場合は座標表示というのがありませんので，
普通は行列(Pauli 行列)で表現します．
大きさ 1/2 のスピンですと２行２列で，これはどの量子力学の本にも載っているでしょう．
スピン(正確に言うなら，スピン角運動量演算子)が作用する相手がスピノールです．

ただし，スピン 1/2 というような言い方も非常によく用いられます．
これはスピンの大きさが 1/2 という意味です．

ojisan7 さん：
> スピンはスピン作用素の固有値（正確には二乗の固有値の平方根）です。

これはちょっと手が滑ってしまわれたようです．
スピン演算子(ベクトル)を (→S) と書くことにして
(2)　　(→S)^2 = (S_x)^2 + (S_y)^2 + (S_z)^2
で，(→S)^2 の固有値が S(S+1) になるような S がスピンの大きさです．

回答No.1

ojisan7

角運動量（スピン）は本来、スピノールに作用する演算子ですから、２行２列の行列で表現しなければなりません。スピンはスピン作用素の固有値（正確には二乗の固有値の平方根）です。