スピンハミルトニアンの計算

質問

スピンハミルトニアンH=guS・H+DxSx^2+DySy^2+DzSz^2
のエネルギーの固有値を求める時に行列要素がでてくるのですが、
その要素の求め方が分かりません。
スピン関数|+1>、|-1>、|0>を用いると
<+1|H|+1>はguHz+1/2Dz
スピン関数|Tx>、|Ty>、|Tz>を用いると
<Tx|H|Tx>は-Dx
になるそうなのですが、解法を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

101325 · ベストアンサー

＃見苦しくてすみません。等幅のフォントで見て下さい。''''は桁揃えのために入れてます。

ブラを行ベクトル、演算子を行列、ケットを列ベクトルで表します。

<+1| = [ 1, 0, 0]

< 0| = [ 0, 1, 0]

<-1| = [ 0, 0, 1]

''''┌ 0, 1, 0 ┐
Sx =│ 1, 0, 1 │/√2
''''└ 0, 1, 0 ┘

''''┌ 0,-i, 0 ┐
Sy =│ i, 0,-i │/√2
''''└ 0, i, 0 ┘

''''┌ 1, 0, 0 ┐
Sz =│ 0, 0, 0 │
''''└ 0, 0,-1 ┘

''''''┌ 1 ┐
|+1> =│ 0 │
''''''└ 0 ┘

''''''┌ 0 ┐
|0 > =│ 1 │
''''''└ 0 ┘

''''''┌ 0 ┐
|-1> =│ 0 │
''''''└ 1 ┘

そうすれば、<+1|H|+1>などの行列要素は、行列のかけ算から求まります。
例えば <+1|DzSz^2|+1> なら
''''''''''''''''''''''''''''''┌ 1, 0, 0 ┐┌ 1, 0, 0 ┐┌ 1 ┐
<+1|DzSz^2|+1> = Dz [ 1, 0, 0]│ 0, 0, 0 ││ 0, 0, 0 ││ 0 │= Dz
''''''''''''''''''''''''''''''└ 0, 0,-1 ┘└ 0, 0,-1 ┘└ 0 ┘
です。
あとはハミルトニアンを3×3の行列で書いて、
S・H = Sx Hx + Sy Hy + Sz Hz と Dx + Dy + Dz = 0
の関係を使えば解けると思います。

お礼

101325さま

ご教授ありがとうございます。
早速計算してみます。
ほとんどのESR関係の本でこの部分の補足解説はないので(知っていて当然とみなされているのでしょうが…)
本当に助かりました。